Ở bài viết này, VerbaLearn giúp bạn đọc tổng hợp một số dạng bài tập nguyên hàm đặc trưng theo chương trình toán lớp 12. Từ đó giúp các bạn học sinh có thêm nguồn tài liệu tham khảo quan trọng để làm chủ chuyên đề này.
Tổng hợp các dạng bài tập nguyên hàm [VerbaLearn.org]
Dạng 1.Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm
Phương pháp giải
Bài toán 1. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) (giả sử điều kiện được xác định)
Một số công thức thường sử dụng ∫kdx = kx + C ∫kf(x)dx = k.∫f(x)dx ∫|f(x) ± g(x)|dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm họ nguyên hàm của f(x) = 4x^3 + x + 5
Hướng dẫn giải Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(4x^3 + x + 5)dx = x^4 + 0.25x^2 +5x + C
Câu 2. Tìm họ nguyên hàm của f(x) = 3x^2 - 2x
Hướng dẫn giải Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(3x^2 - 2x)dx = x^3 - x^2 + C
Câu 3. Tìm họ nguyên hàm của
Hướng dẫn giải Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(x - 1)dx = (x^2/2 - x) + C
Câu 4. Tìm họ nguyên hàm của
Hướng dẫn giải Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(2x - 3)dx = (x^2 - 3x) + C
Câu 5. Tính I = ∫(x^2 - 3x)(x + 1)dx
Hướng dẫn giải Phân phối được: I = ∫(x^3 - 3x^2 + x^2 - 3x)dx = ∫x^3 - 2x^2 - 3x dx = (x^4/4 - 2x^3/3 - 3x^2/2) + C
Câu 6. Tính I = ∫(x - 1)(x^2 + 2)dx
Hướng dẫn giải Phân phối được I = ∫(x^3 - x^2 + 2x - 2)dx = (x^4/4 - x^3/3 + x^2 - 2x) + C
Câu 7. Tính I = ∫(2x + 1)^5dx (công thức mở rộng)
Hướng dẫn giải Áp dụng công thức mở rộng I = ∫(2x + 1)^5dx = (2/6)(2x + 1)^6 + C = (1/3)(2x + 1)^6 + C
Câu 8. Tính I = ∫(2x - 10)^2020dx
Hướng dẫn giải Áp dụng công thức mở rộng I = ∫(2x - 10)^2020dx = [(2/2021)(2x - 10)^2021] + C = (1/1010)(2x - 10)^2021 + C
Câu 9. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 4x^3 - 4x + 5 thỏa mãn F(1) = 3
A. F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1 B. F(x) = x^4 - 4x^2 + 5x + 1 C. F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 3 D. F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x + 5
Hướng dẫn giải Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(4x^3 - 4x + 5)dx = x^4 - 2x^2 + 5x + C
Theo đề bài, ta có: F(1) = 3 ⇔ 1^4 - 2(1)^2 + 5(1) + C = 3 ⇔ C = -1
Do đó: F(x) = x^4 - 2x^2 + 5x - 1
Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm F(a) ta chỉ cần thế x = a vào F(x) sẽ tìm được F(a). Chẳng hạn, tính F(2), ta thế x = 2 vào F(x), nghĩa là F(2) = 2^4 - 2(2)^2 + 5(2) - 1 = 17
⟹ Chọn A
Câu 10. Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 3x^2 + 2x + 5 thỏa mãn F(1) = 4
A. F(x) = x^3 - x^2 + 5x - 3 B. F(x) = x^3 + x^2 + 5x - 3 C. F(x) = x^3 + x^2 - 5x + 3 D. F(x) = x^3 + x^2 + 5x + 3
Hướng dẫn giải Ta có: F(x) = ∫f(x)dx = ∫(3x^2 + 2x + 5)dx = x^3 + x^2 + 5x + C
F(1) = 4 ⇒ 1^3 + 1^2 + 5.1 + C = 4 ⇔ C = -3
Vậy F(x) = x^3 + x^2 + 5x - 3
⟹ Chọn B
Câu 11. Hàm số f(x) = -5x^4 + 4x^2 - 6 có một nguyên hàm F(x) thỏa F(3) = 1. Tính F(-3)
A. F(-3) = 226 B. F(-3) = -225 C. F(-3) = 451 D. F(-3) = 225
Hướng dẫn giải Do đó F(-3) = 451
⟹ Chọn C
Câu 12. Hàm số f(x) = x^3 + 3x + 2 có một nguyên hàm F(x) thỏa F(2) = 14. Tính F(-2)
A. F(-2) = 6 B. F(-2) = -14 C. F(-2) = -6 D. F(-2) = 14
Hướng dẫn giải Do đó F(-2) = 6
⟹ Chọn A
Câu 13. Hàm số f(x) = (2x + 1)^3 có một nguyên hàm F(x) thỏa . Tính
A. P = 32 B. P = 34 C. P = 18 D. P = 30
Hướng dẫn giải Do đó
⟹ Chọn B
Dạng 2. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 2. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 3. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 4. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 5. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 6. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 7. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 8. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 9. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 10. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 11. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn B
Câu 12. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn B
Câu 13. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn B
Câu 14. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn B
Câu 15. Tìm
Hướng dẫn giải Ta có
⟹ Chọn A
Câu 16. Nguyên hàm của hàm số f(x) = x^3 + 3x + 2 là hàm số nào trong các hàm số sau?
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải Sử dụng bảng nguyên hàm.
⟹ Chọn A
Câu 17. Hàm số F(x) = 5x^3 + 4x^2 - 7x + 120 + C là họ nguyên hàm của hàm số nào sau đây?
A. f(x) = 15x^2 + 8x - 7 B. f(x) = 5x^2 + 4x + 7 C. D. f(x) = 5x^2 + 4x - 7
Hướng dẫn giải Lấy đạo hàm của hàm số F(x) ta được kết quả.
⟹ Chọn A
Câu 18. Tính F(x) = ∫xsinx dx bằng
A. F(x) = sin x - xcos x + C B. F(x) = xsin x - cos x + C C. F(x) = sin x + xcos x + C D. F(x) = xsin x + xcos x + C
**