Bảng công thức tính nguyên hàm lượng giác đầy đủ nhất
Bảng công thức nguyên hàm của hàm số lượng giác là kiến thức vô cùng quan trọng khi học chương trình toán 12, đặc biệt trong phần giải tích. Dưới đây là toàn bộ những công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản nhất được các em áp dụng nhiều trong quá trình làm bài tập.
Các dạng nguyên hàm lượng giác cơ bản
Dạng 1: Nguyên hàm của $I = \sin^{m}x\cos^{n}x dx$
- Trường hợp 1: Nếu m = 2k + 1 $Rightarrow I = \int \sin^{2k}x\cos^{n}x\sin x dx$
- $= - \int (1-\cos^{2}x)^{k} \cos^{n}x d (\cos x) \Rightarrow$ Đặt $t = \cos x$
- Trường hợp 2: Nếu n = 2k + 1 $Rightarrow$ Đặt $t = \sin x$
- Trường hợp 3: Nếu m, n đều chẵn ta dùng công thức hạ bậc.
Lưu ý: Đối với nguyên hàm chỉ chứa $\sin x$ và $\cos x$ dạng.
- $I = \int f(\sin x)\cos x dx = \int f(\sin x)d(\sin x) \Rightarrow$ Đặt $t = \sin x$
- $I = \int f(\cos x) \sin x dx = -\int f(\cos x) d(\cos x) \Rightarrow$ Đặt $t = \cos x$
Dạng 2: Nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{\sin^{m}x\cos^{n}x} = \frac{\sin^{2}x\cos^{n}x}{\sin^{m}x\cos^{n}x} ....$
- Trường hợp 1: Nếu m= 2k+ 1 $I= \int \frac{\sin x dx}{\sin^{2k+2}x.\cos x} = -\int \frac{d(\cos x)}{(1 - \cos^{2}x)^{k+1}} . \cos^{n}x$ Khi đó ta đặt: $t= \cos x$
- Trường hợp 2: Nếu n= 2k+ 1 → Đặt $t= \sin x$
- Trường hợp 3: Nếu m, n đều chẵn ta có: $\frac{dx}{\sin^{m}x} . \cos^{n}x = \frac{\sin^{2}x\cos^{n}x}{\sin^{m}x\cos^{n}x}$
Dạng 3: Nguyên hàm lượng giác của hàm $\tan x$ và $\cot x$ Các nguyên hàm chứa $\tan x$ hay $\cot x$ ta thường dùng các hằng đẳng thức:
- $\frac{1}{\sin^{2}x} = 1+ \cos^{2}x ; \frac{1}{\cos^{2}x} = 1+\tan^{2}x$
Nguyên hàm mà mẫu là đẳng cấp bậc 2 với $\sin x$ và $\cot x$
- $A\sin^{2}x + B\sin x\cos x + C\cos^{2}x$ thì ta chia cả tử và mẫu cho $\cos^{2}x$
Dạng 4: Nguyên hàm sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
- $\int \cos ax \cos bx dx = \frac{1}{2}\int [\cos(a+b)x + \cos(a-b)x]dx$
- $\int \sin ax \sin bx dx = \frac{-1}{2}$
- $\int [\cos(a+b)x-\cos(a-b)x]dx$
- $\int \sin ax.\cos bx dx = \frac{1}{2} \int [\sin(a+b)x+\sin(a-b)x]dx$
- $\int \cos ax.\sin bx dx = \frac{1}{2} \int [\sin(a+b)x - \sin(a - b)x]dx$
Dạng 5: Nguyên hàm $I = \int \frac{dx}{a\sin x + b\cos x + c}$ Ta có: $\int \frac{dx}{m\sin^{2}\frac{x}{2}+n\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}+p\cos^{2}\frac{x}{2}} = \int \frac{dx}{\cos^{2}\frac{x}{2}(mtan^{2}\frac{x}{2}+ntan\frac{x}{2}+p)} \overset{t=tan\frac{x}{2}}{\rightarrow} I= \int \frac{dt}{mt^{2}+nt+p}$
Một số bài tập nguyên hàm lượng giác và phương pháp giải
Câu 1: Nguyên hàm của hàm số: $y = 7\sin x$? A. $7\sin x + C.$ B. $7\cos x + C.$ C. $-7\cos x + C.$ D. Tất cả sai.
Giải: Ta có: $\int 7\sin x dx = 7\int \sin x dx = -7\cos x + C.$ Chọn C.
Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: $y = 6\sin x + 8\cos x$ là: A. $-6\cos x - 8\sin x + C.$ B. $6\cos x + 8\sin x + C.$ C. $-6\cos x + 8\sin x + C.$ D. $6\cos x - 8\sin x + C$
Giải: Ta có: $\int (6\sin x + 8\cos x)dx = 6\int \sin x dx + 8\int \cos x dx = -6\cos x + 8\sin x + C.$ Chọn C.
Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = 8\sin x - 8\cos x$ A. $8\cos x - 8\sin x.$ B. $-8\cos x - 8\sin x.$ C. $8\cos x + 8\sin x.$ D. Tất cả sai.
Giải: Ta có: $\int (8\sin x - 8\cos x)dx = 8\int \sin x dx - 8\int \cos x dx = -8\cos x - 8\sin x$ Chọn B.
Câu 4: Tính: $I = \int \sin(x^2 - x + 1)(2x - 1) dx$ A. $\cos(x^2 - x + 1) + c.$ B. $-2 \cos(x^2 - x + 1) + c.$ C. $-\frac{1}{2}\cos(x^2 - x + 1).$ D. $-\cos(x^2 - x + 1).$
Giải: Ta có: $\sin(x^2 - x + 1)(2x - 1)dx = \sin(x^2 - x + 1)(x^2 - x + 1)' dx$ Đặt $u = x^2 - x + 1$ ta được: ⇒ $I = \int \sin(x^2 - x + 1)(2x - 1) dx = \int \sin(x^2 - x + 1)d(x^2 - x + 1)$ $I = \int \sin u du = -\cos u + C = -\cos(x^2 - x + 1) + c$ Chọn D.
Câu 5: Tính $\int \frac{4\sin x + 3\cos x}{\sin x + 2\cos x}$ A. $3\ln|\cos x + 2| - \ln|\cos x + 1| + c$ B. $-3\ln|\cos x + 2| - \ln|\cos x + 1| + c$ C. $4\ln|\cos x + 2| + 2\ln|\cos x + 1| + c$ D. $2\ln|\cos x + 2| - 3\ln|\cos x + 1| + c$
Giải:
Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = x + \tan^2 x$
Giải:
Ta có
Câu 7: Tìm nguyên hàm của hàm số $y = \sin 7x - 7\cos 2x + \ln e$
Đăng ký ngay để được các thầy cô tổng hợp kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi THPT sớm ngay từ bây giờ
Các em học sinh có thể tham khảo bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC tổng hợp kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập Toán THPT Quốc Gia.
Để hiểu sâu hơn và thành thạo hơn trong thao tác giải các bài tập nguyên hàm cơ bản áp dụng giải bài tập nguyên hàm tích phân, các em cùng VUIHOC theo dõi bài giảng dưới đây của thầy Thành Đức Trung nhé!
Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm lượng giác, từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức và các dạng toán hay, các em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!
Xem thêm:
- Tích phân là gì? Phương pháp tính và các dạng toán cơ bản
- Công thức nguyên hàm Inx và cách giải các dạng bài tập
- Công thức tính nguyên hàm từng phần và bài tập có đáp án
- Công thức lượng giác