Bài viết này sẽ hướng dẫn cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn một cách chi tiết, giúp các bạn học sinh ôn tập và nắm vững cách làm bài tập cách giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

A. Phương pháp giải

Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho (coi là phương trình thức nhất), ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn một ẩn).

Bước 2: Dùng phương trình mới đó để thay thế cho phương trình thức hai trong hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn theo ẩn kia có được ở bước 1).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa có, rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

Bước 4: Kết luận.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn: Giải bằng phương pháp thế. Chú ý: Ta nên rút y theo x ở phương trình hai của hệ, vì hệ số của y là 1. Ta có: (2) ⇔ y = 8 - 2x. Thay vào (1) ta được: 3x - 2(8 - 2x) = 5 ⇔ 7x - 16 = 5 ⇔ 7x = 21 ⇔ x = 3. Với x = 3 thì y = 8 - 2.3 = 2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (3;2).

Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn: Từ pt (2) ta có: x = 5 + 3y. Thay x = 5 + 3y vào pt (1) ta được: 4(5 + 3y) + 5y = 3 ⇔ 12y + 5y + 20 = 3 ⇔ 17y = - 17 ⇔ y = - 1. Với y = - 1 thì x = 5 + 3( - 1 ) = 2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;-1).

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

Hướng dẫn: Từ pt (1) ta có: y = -3 - 2x. Thay y = -3 - 2x vào pt (2) ta được: 2x - 3(-3 - 2x) = 17 ⇔ 2x + 6x + 9 = 17 ⇔ 8x = 8 ⇔ x = 1. Với x = 1 thì y = -3 - 2.1 = - 5. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;-5).

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Hệ phương trình sau: có nghiệm (x;y) là ?

A. (x;y) = (2;1) B. (x;y) = (1;2) C. (x;y) = (2;-1) D. (x;y) = (1;1)

Lời giải: Ta có: . Từ pt (2) ⇒ y = 5 - 2x. Thay vào pt (1) ta được: 3x - 2(5 - 2x) = 4 ⇔ 3x + 4x - 10 = 4 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2. Với x = 2 thì y = 5 - 2.2 = 1. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;1). Chọn đáp án A.

Câu 2: Trong các hệ phương trình sau đâu là hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn?

Ảnh minh họa

Lời giải: Chọn đáp án A. Vì HPT bậc nhất 2 ẩn có dạng là:

Câu 3: Tìm a, b sao cho hệ phương trình sau: có nghiệm (x;y) là (8;5).

A. a = 2, b = 3 B. a = 1, b = 3 C. a = 1, b = 4 D. a = 4, b = 1

Lời giải: Vì hpt (I) có nghiệm (x;y) là (8;5) nên ta có: Vậy đáp án đúng là C.

Câu 4: Cho hệ phương trình sau: . Tìm x + y = ?

A. 3 B. 5 C. 4 D. 6

Lời giải: Ta có: 2x + y = 7 ⇒ y = 7 - 2x (1). Thay (1) vào pt: - x + 4y = 10 ta được: - x + 4(7 - 2x) = 10 ⇔ - x + 28 - 8x = 10 ⇔ - 9x = -18 ⇔ x = 2. Với x = 2 thì y = 7 - 2.2 = 3. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;3). Do đó x + y = 2 + 3 = 5. Chọn đáp án B.

Câu 5: Tìm a, b sao cho đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(3; - 2) và B(-2;1).

A. a = 3, b = 2 B. a = 1, b = 2 C. a = ½, b = 1 D. a = ½, b = 2

Lời giải: Vì đường thẳng (d) hai qua hai điểm A,B nên ta có: Từ -2a + b = 1 ⇒ b = 1 + 2a (1). Thay (1) vào pt: 2a + b = 3 ta được: 2a + b = 3 ⇒ 2a + 1 + 2a = 3 ⇔ 4a = 2 ⇔ a = ½. Với a = ½ thì b = 1 + 2. ½ = 2. Vậy a = ½ và b = 2. Chọn đáp án D.

Câu 6: Hệ phương trình sau: . Tìm 2x - y =?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải: Từ pt: x + y = 5 ⇒ x = 5 - y (1). Thay (1) vào pt: 2x - y = 1 ta được: 2x - y = 1 ⇒ 2(5 - y) - y = 1 ⇔ 10 - 2y - y = 1 ⇔ 3y = 9 ⇔ y =3. Với y = 3 thì x = 5 - 3 = 2. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (2;3). Do đó: 2x - y = 2.2 - 3 = 4 - 3 = 1. Chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hệ phương trình sau: . Khi a = 2 thì nghiệm (x;y) của hệ là ?

Ảnh minh họa

Lời giải:

Câu 8: Nghiệm (x;y) = (2;1) là nghiệm của hệ phương trình nào sau đây:

Ảnh minh họa

Lời giải: Chọn đáp án B. Vì khi thay (x;y) = (2;1) vào hệ thỏa mãn.

Câu 9: Hệ phương trình sau có bao nhiêu nghiệm:

A. Không có nghiệm B. Có một nghiệm duy nhất. C. Có vô số nghiệm. D. Có hai nghiệm

Lời giải: Ta có: x + y = 5 ⇒ x = 5 - y (1). Thay y = 5 - y + y = 3 ⇒ 0y = 2 (vô lý). Vậy hệ phương trình không có nghiệm nào thỏa mãn. Chọn đáp án A.

Câu 10: Cho hệ phương trình sau: . Kết quả của 2xy - 1 = ?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Lời giải: Ta có: x - y = 0 ⇒ x = y (1). Thay x = y vào pt: 2x - y = 1 ta được: 2x - x = 1 ⇔ x = 1. Với x = 1 ⇒ y = 1. Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x;y) = (1;1). Do đó: 2xy - 1 = 2.1.1 - 1 = 1. Chọn đáp án B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hệ phương trình: 2x+by=-4bx-ay=4. Tìm các giá trị của a và b, biết rằng hệ phương trình:

a) Có nghiệm là (1; - 2);

b) Có nghiệm là (2;-2).

Bài 2. Tìm a và b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(3; - 5) và N(-1;32)

Bài 3. Cho hệ phương trình: (3a-2)x+2(2b+1)y=30(a+2)x-2(3b-1)y=-20có nghiệm là (3; - 1). Hãy tính 4a - b2.

Bài 4. Giải hệ phương trình sau

a) 2(x+y)+3(x-y)=4(x+y)+2(x-y)=5

b) (x+1)(y-1)=xy-1(x+3)(y+3)=xy-3

Bài 5. Tìm các giá trị của m và n để đường thẳng mx + 2y = n đi qua A(3; - 2) và đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1: 2x - y = 3 và d2: 3x + 2y = 5.