Bài tập

Cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất với phương pháp giải chi tiết đáng chú ý

avatar
Huy Erick
00:00 12/04/2024

Bài viết này sẽ giúp bạn ôn tập cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất một cách chi tiết và dễ hiểu. Hệ phương trình bậc nhất là một chủ đề quan...

Bài viết này sẽ giúp bạn ôn tập cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất một cách chi tiết và dễ hiểu. Hệ phương trình bậc nhất là một chủ đề quan trọng trong toán học và đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau. Hãy cùng tìm hiểu ngay!

Lý thuyết & Phương pháp giải

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là: ax + by = c, trong đó a, b, c là các hệ số và a và b không đồng thời bằng 0.

Cặp số (x0; y0) là một nghiệm của phương trình khi và chỉ khi điểm M(x0; y0) thuộc đường thẳng y = (-a/b)x + c/b. Tất cả các cặp số (x0; y0) là nghiệm của phương trình này tạo thành một đường thẳng trong mặt phẳng Oxy.

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng tổng quát là:

{ ax + by = c,
  dx + ey = f }

Nếu cặp số (x0; y0) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình trong hệ, thì (x0; y0) được gọi là một nghiệm của hệ. Để giải hệ phương trình này, ta cần tìm tập nghiệm của nó. Một cách giải phổ biến là sử dụng quy tắc Cramer.

Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn

Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là: ax + by + cz = d, trong đó a, b, c, d là các hệ số và a, b, c không đồng thời bằng 0.

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là:

{ ax + by + cz = d,
  ex + fy + gz = h,
  ix + jy + kz = l }

Mỗi bộ ba số (x0, y0, z0) là nghiệm đúng của ba phương trình trong hệ được gọi là một nghiệm của hệ. Để giải hệ phương trình này, ta cần tìm tập nghiệm của nó. Phương pháp giải phổ biến là khử bớt ẩn để đưa về các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít hơn.

Ví dụ minh họa

Hãy xem một số ví dụ để hiểu rõ hơn về cách giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất.

Bài 1: Giải hệ phương trình

Lời giải:

  • Ta có: y = 1-√2x ⇒ 3x + √2(1-√2.x) = 2 ⇒ x = 2 - √2 ⇒ y = 3 - 2√2
  • Ta có: Thế y = 4 - 2x vào phương trình y + z = 2 + √2 ta được -2x + z = -2 + √2
  • Giải hệ ta được x = 1; z = √2 ⇒ y = 2

Bài 2: Giải hệ phương trình

Lời giải:

  • Điều kiện: xy ≠ 0
  • Ta có:

Bài 3: Có bao nhiêu cặp số nguyên (a; b) sao cho hệ phương trình vô nghiệm

Lời giải:

  • Ta có:

Bài 4: Gọi (x0; y0; z0) là nghiệm của hệ phương trình, tính giá trị của biểu thức P = x0y0z0

Lời giải:

  • Ta có:

Bài 5: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ phương trình có duy nhất một nghiệm

Lời giải:

  • Ta có:

Bài 6: Cho hệ phương trình . Tìm các giá trị thích hợp của tham số a để tổng bình phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

  • Ta có:

Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các dạng bài tập Toán lớp 10 có đáp án hay khác, bạn có thể xem thêm tại đây.

1