Biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là một chủ đề quan trọng trong toán học. Việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức này đòi hỏi sự hiểu biết về tính chất của dấu giá trị tuyệt đối. Trên thực tế, chúng ta có thể áp dụng một số phương pháp để giải quyết vấn đề này.

Cách tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cực hay

A. Phương pháp giải

Dạng 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
Dạng 2: Các biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối.

Phương pháp: Sử dụng tính chất

Với mọi x, y ∈ Q, ta có |x + y| ≤ |x| + |y| |x - y| ≥ |x| - |y|

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = |x + 1001| + 1 Lời giải: A = |x + 1001| + 1 Vì |x + 1001| ≥ 0 ∀ x Suy ra |x + 1001| + 1 ≥ 0 + 1 ∀ x Do đó A ≥ 1 ∀ x Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 1, khi x = -1001.
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất B = 5 - |5x + 3| Lời giải: B = 5 - |5x + 3| Vì |5x + 3| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|5x + 3| ≤ 0 ∀ x ⇒ -|5x + 3| + 5 ≤ 5 ∀ x ⇒ 5 - |5x + 3| ≤ 5 ∀ x Suy ra B ≤ 5 ∀ x Vậy giá trị lớn nhất của B là 5.
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = |x - 1| + |x - 2019| Lời giải: C = |x - 1| + |x - 2019| = |x - 1| + |-(x - 2019)| (vì |a| = |-a|) = |x - 1| + |2019 - x| Vì |x - 1| + |2019 - x| ≥ |x - 1 + 2019 - x| (theo tính chất ở phần lý thuyết) Mà |x - 1 + 2019 - x| = |2019 - 1| = |2018| = 2018 Suy ra C ≥ 2018 Vậy giá trị nhỏ nhất của C là 2018.
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức D = |x + 5000| - |x - 3000| Lời giải: D = |x + 5000| - |x - 3000| ≤ |x + 5000 - (x - 3000)| (áp dụng tính chất ở phần lý thuyết) Vì | x + 5000 - (x - 3000)| = | x + 5000 - x + 3000| = |8000| = 8000 Suy ra D ≤ 8000 Vậy giá trị lớn nhất của D là 8000.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức A = -2 - |1,4 - x| A. - 2 B. -3,4 C. 2 D. -1 Lời giải: A = -2 - |1,4 - x| Vì |1,4 - x| ≥ 0 ∀ x ⇒ -|1,4 - x| ≤ 0 ∀ x ⇒ - 2 -|1,4 - x| ≤ - 2 - 0 = -2 ∀ x Do đó A ≤ - 2 ∀ x Dấu “=” xảy ra khi 1,4 - x = 0 ⇒ x = 1,4 Vậy giá trị lớn nhất của A là -2, khi x = 1,4. Đáp án A
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức H = |x - 5| + 10 là A. 5 B. 0 C. 10 D. 15 Lời giải: Vì |x - 5| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x - 5| + 10 ≥ 0 + 10 = 10 ∀ x Suy ra H ≥ 10 ∀ x Dấu “=” xảy ra khi x - 5 = 0 hay x = 5 Vậy giá trị nhỏ nhất của H là 10 khi x = 5. Đáp án C
Câu 3. Giá trị lớn nhất của biểu thức là Lời giải: Vì |x - 2| ≥ 0 ∀ x ⇒ |x - 2| + 3 ≥ 0 + 3 = 3 ∀ x (lấy 1 chia cả hai vế, bất đẳng thức đổi dấu) Suy ra Dấu “=” xảy ra khi x - 2 = 0, hay x = 2 Vậy giá trị lớn nhất của N là khi x = 2. Đáp án B
Câu 4. Biểu thức K = 2|3x - 1| - 4 đạt giá trị nhỏ nhất khi Lời giải: Vì |3x - 1| ≥ 0 ∀ x ⇒ 2|3x - 1| ≥ 2.0 = 0 ∀ x ⇒ 2|3x - 1| - 4 ≥ 0 - 4 = -4 ∀ x Do đó K ≥ - 4 ∀ x Dấu “=” xảy ra khi 3x - 1 = 0 ⇒ 3x = 1 ⇒ x = 1/3 Vậy K đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 1/3. Đáp án C
Câu 5. Tìm giá trị của x và y để biểu thức có giá trị lớn nhất. Lời giải: Đáp án B
Câu 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức N = |x + 5| + |x - 1| + 4 A. 0 B. 4 C. 5 D. 10 Lời giải: Ta có: |x - 1| = |-(x - 1)| = | 1 - x| (vì |a| = |-a|) Khi đó N = |x + 5| + |1 - x| + 4 Vì |x + 5| + |1 - x| ≥ |x + 5 + 1 - x| = |6| = 6 Do đó N = |x + 5| + |x - 1| + 4 ≥ 6 + 4 = 10 Vậy giá trị nhỏ nhất của N là 10 Đáp án D