Gaußsche Summenformel: Phân tích và ứng dụng

Trong toán học, "Gaußsche Summenformel" (không nhầm lẫn với tổng Gauß) còn được gọi là "Gauß nhỏ", là một công thức tính tổng của n số tự nhiên liên tiếp: 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ + n = n(n + 1) / 2 = (n^2 + n) / 2. Công thức này là một công thức quan trọng và được áp dụng rộng rãi trong toán học.

Định nghĩa

Các con số 1,3, 6, 10,... cho n = 1, 2, 3, 4,.... được gọi là các số tam giác.

Mô phỏng

Công thức có thể được mô phỏng như sau: Ta viết các số từ 1 đến n theo thứ tự tăng dần vào một hàng. Dưới hàng đó, ta viết các số theo thứ tự ngược lại:

1   2   ...   n-1   n
n  n-1 ...    2    1
n+1 n+1 ... n+1 n+1

Hình dung hình học

Bên dưới là hình ảnh minh họa sự kết hợp các số thành các hình vuông màu xanh lá cây để tạo thành một tam giác, và sau đó mở rộng hình vuông thành một hình chữ nhật bằng cách thêm một cột màu xanh dương ở bên phải. Theo cách này, ta có thể dễ dàng chia đôi số các hình vuông xanh để tính tổng.

Kết quả cuối cùng là n(n+1)/2, tức là nửa tổng của tất cả các số hình vuông xanh.

Lịch sử

Công thức tổng Gauß và cũng như công thức tổng các số bình phương đã được biết đến trong toán học cổ đại trước kỷ hiện đại.

Ghi chú:

1. Ravi P. Agarwa: Pythagoreans Figurative Numbers: The Beginning of Number Theory and Summation of Series.
2. Frühe Belege sind: Peter Ziesche: Nebenläufige und verteile Programmierung. W3L-Verl, 2005, S. 207 (online). sowie Mathematischer Korrespondenzzirkel Göttingen (Hrsg.): Voller Knobeleien. Universitätsverlag Göttingen, 2005, S. 99 (online).
3. siehe beispielsweise Friedrich Sauvigny: Analysis. Springer Spektrum, 2013, S. 14 (online). und Rebecca Waldecker, Lasse Rempe-Gillen: Primzahltests für Einsteiger. Springer Spektrum, S. 10, 2015 (online).
4. Für einen frühen Beleg siehe: Felix Klein, Robert Fricke: Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen, Band 2. S. 305, 1892 (online). Für die aktuelle Verwendung siehe beispielsweise den Eintrag "Gaußsche Summenformel" In: Lexikon der Mathematik, Springer Spektrum (online)
5. Sartorius von Waltershausen: Gauss zum Gedächtnis. 1856, S. 12 u. 13 (Auszug (Google))
6. Brian Hayes: Gauss’s Day of Reckoning. In: American Scientist. 94, 2006, S. 200, doi:10.1511/2006.3.200.
7. Marko Petkovsek, Herbert Wilf, Doron Zeilberger: A=B. 1997, S. 10 (math.upenn.edu).

Nguồn: Wikipedia