Hàm số chẵn và hàm số lẻ là những khái niệm quan trọng trong môn Đại số lớp 10 và được áp dụng trong việc giải quyết các bài toán ở lớp 12. Hãy cùng tìm hiểu về hàm số chẵn, hàm số lẻ và cách xác định chúng trong bài viết dưới đây để nắm rõ hơn về kiến thức toán học này.
Hàm số chẵn là gì?
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây:
- Đối với mọi x thuộc tập xác định D, thì -x cũng thuộc D.
- Đối với mọi x thuộc D, thì f(-x) = f(x).
Ví dụ: Hàm số y = x² là một hàm số chẵn.
Hàm số lẻ là gì?
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ nếu thoả mãn hai điều kiện sau đây:
- Đối với mọi x thuộc tập xác định D, thì -x cũng thuộc D.
- Đối với mọi x thuộc D, thì f(-x) = -f(x).
Ví dụ: Hàm số y = x là một hàm số lẻ.
Chú ý: Điều kiện thứ nhất được gọi là điều kiện tập xác định đối xứng qua số 0.
Ví dụ, tập D = (-2;2) là tập đối xứng qua số 0, trong khi tập D' = [-2;3] không đối xứng qua 0. Tập R = (−∞;+∞) là tập đối xứng.
Chú ý: Một hàm số không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ.
Ví dụ, hàm số y = 2x + 1 không là hàm số chẵn và cũng không là hàm số lẻ vì:
- Tại x = 1, có f(1) = 2.1 + 1 = 3.
- Tại x = -1, có f(-1) = 2.(-1) + 1 = -1.
- Hai giá trị f(1) và f(-1) không bằng nhau và cũng không đối xứng.
Đồ thị của hàm số chẵn, lẻ
- Hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy.
- Hàm số lẻ có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O.
Hàm số không chẵn không lẻ là gì?
Không phải tất cả hàm số đều có thể được xác định là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Một số dạng hàm số không phải là hàm số chẵn cũng không phải là hàm số lẻ, ví dụ như y = x² + x, y = tan(x - 1),...
Ngoài ra, còn có một dạng hàm số đặc biệt là hàm vừa chẵn vừa lẻ, ví dụ như hàm y = 0.
Nhớ một số hàm số chẵn lẻ thường gặp
Hàm số chẵn
- y = ax² + bx + c khi và chỉ khi b = 0.
- Hàm trùng phương bậc 4.
- y = cos(x).
Hàm số lẻ
- y = ax + b khi và chỉ khi b = 0.
- y = ax³ + bx² + cx + d khi và chỉ khi b = d = 0.
- y = sin(x), y = tan(x), y = cot(x).
Một số trường hợp khác
- Nếu F(x) là hàm số chẵn và có đạo hàm trên tập xác định, thì đạo hàm của nó là hàm số lẻ.
- Nếu F(x) là hàm số lẻ và có đạo hàm trên tập xác định, thì đạo hàm của nó là hàm số chẵn.
- Hàm số đa thức bậc lẻ không phải là hàm số chẵn.
- Hàm số đa thức bậc chẵn không phải là hàm số lẻ.
Cách xác định hàm số chẵn, hàm số lẻ
Để xác định hàm số chẵn lẻ, ta thực hiện các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định: D
- Nếu ∀x ∈ D ⇒ -x ∈ D, chuyển qua bước ba.
- Nếu ∃ x₀ ∈ D ⇒ -x₀ ∉ D, kết luận hàm không chẵn cũng không lẻ.
Bước 2: Thay x bằng -x và tính f(-x):
Bước 3: Xét dấu (so sánh f(x) và f(-x)):
- Nếu f(-x) = f(x), thì hàm số f là hàm chẵn.
- Nếu f(-x) = -f(x), thì hàm số f là hàm lẻ.
- Trường hợp khác, hàm số f không có tính chẵn lẻ.
Bài tập xét tính chẵn lẻ của hàm số
Bài 4 trang 39 SGK Đại số 10: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) y = |x|; b) y = (x + 2)²; c) y = x³ + x; d) y = x² + x + 1.
Giải:
a) Đặt y = f(x) = |x|.
- Tập xác định: D = R, nên ∀x ∈ D, thì -x ∈ D.
- f(-x) = |-x| = |x| = f(x). Vậy hàm số y = |x| là một hàm số chẵn.
b) Đặt y = f(x) = (x + 2)².
- Tập xác định: D = R, nên ∀x ∈ D, thì -x ∈ D.
- f(-x) = (-x + 2)² = (x - 2)² ≠ (x + 2)² = f(x).
- f(-x) = (-x + 2)² = (x - 2)² ≠ - (x + 2)² = -f(x). Vậy hàm số y = (x + 2)² không phải là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
c) Đặt y = f(x) = x³ + x.
- Tập xác định: D = R, nên ∀x ∈ D, thì -x ∈ D.
- f(-x) = (-x)³ + (-x) = -x³ - x = - (x³ + x) = -f(x). Vậy hàm số y = x³ + x là một hàm số lẻ.
d) Đặt y = f(x) = x² + x + 1.
- Tập xác định: D = R, nên ∀x ∈ D, thì -x ∈ D.
- f(-x) = (-x)² + (-x) + 1 = x² - x + 1 ≠ x² + x + 1 = f(x).
- f(-x) = (-x)² + (-x) + 1 = x² - x + 1 ≠ -(x² + x + 1) = -f(x). Vậy hàm số y = x² + x + 1 không phải là hàm số chẵn cũng không là hàm số lẻ.
Có hay không một hàm số xác định trên R vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ?...
Giải:
Dễ thấy rằng hàm số y = 0 là một hàm số xác định trên R, vừa là hàm số chẵn vừa là hàm số lẻ.
Giả sử hàm số y = f(x) là một hàm số bất kỳ có tính chất như thế. Khi đó, với mọi x thuộc R, ta có:
- F(-x) = f(x) (vì f là hàm số chẵn).
- F(-x) = -f(x) (vì f là hàm số lẻ).
Từ đó suy ra với mọi x thuộc R, xảy ra f(x) = −f(x), nghĩa là f(x) = 0. Vậy hàm số y = 0 là hàm số duy nhất xác định trên R, vừa là hàm số chẵn, vừa là hàm số lẻ.
Ngoài hàm số chẵn, lẻ, các bạn còn có thể tìm hiểu thêm một số kiến thức toán học quan trọng khác như số chính phương, số vô tỉ, số hữu tỉ, số nguyên tố, số tự nhiên... trong mục Giáo dục học tập của Quantrimang.com nhé.