Bài viết này sẽ giới thiệu về lý thuyết và minh họa hình học của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong môn Toán lớp 9. Chúng ta sẽ tìm hiểu về các khái niệm cơ bản và cách giải quyết hệ phương trình này.

Lý thuyết Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn

Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn được biểu diễn bởi hai phương trình:

ax + by = c
a'x + b'y = c'

Trong đó (x, y) là nghiệm của hệ phương trình. Dựa vào các trường hợp sau, chúng ta có thể xác định nghiệm của hệ phương trình:

Nếu hai phương trình có một nghiệm chung (x0, y0), thì (x0, y0) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình.
Nếu hai phương trình không có nghiệm chung, thì hệ phương trình vô nghiệm.
Để giải hệ phương trình, chúng ta cần tìm tất cả các nghiệm của hệ.

Minh họa hình học tập nghiệm của hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Để hiểu rõ hơn về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, chúng ta có thể sử dụng đồ thị hàm số. Gọi (d) và (d') lần lượt là đồ thị của hai hàm số rút ra từ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Khi đó:

Nếu (d) cắt (d'), thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất.
Nếu (d) song song với (d'), thì hệ phương trình vô nghiệm.
Nếu (d) trùng với (d'), thì hệ phương trình có vô số nghiệm.

Ví dụ, xét hệ phương trình:

3x - 2y = -6
y = (3/2)x + 3

Hai đường thẳng (d1) và (d2) có các tính chất sau: có đồng biến, không cắt nhau và không trùng nhau. Do đó, hệ đã cho không có nghiệm.

Hệ phương trình tương đương

Hai hệ phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm. Kí hiệu "⇔" được sử dụng để chỉ sự tương đương của hai hệ phương trình.

Bài tập tự luận

Cùng thực hành với hai bài tập tự luận sau:

Câu 1: Cho hai hệ phương trình (I) và (II). Hỏi hai hệ này có tương đương nhau không?

Lời giải: Xét hệ (I) có (1; 0) là một cặp nghiệm của hệ (I). Tuy nhiên, với cặp nghiệm (1; 0), lại không phải là nghiệm của hệ (II). Do đó, hai hệ này không tương đương với nhau (dù cả hai hệ đều có vô số nghiệm).

Câu 2: Tìm giá trị a để hai hệ phương trình sau tương đương:

3x - 2y = -6
ax + y = 1

và

2x + ay = 5
x - y = -1

biết rằng hệ (I) có cặp nghiệm là (x, y) = (2, 1).

Lời giải: Hệ (I) và (II) tương đương nhau, do đó nghiệm của hệ (I) cũng là nghiệm của hệ (II). Từ đó, ta có:

3x - 2y = -6 ⇔ ax + y = 1

⇔ a = 1

Vậy giá trị a cần tìm là a = 1.

Đây là một số kiến thức cơ bản về hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn trong môn Toán lớp 9. Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu thêm về chủ đề này.