Bài viết này sẽ giúp các bạn ôn tập và nắm vững phương pháp giải và biện luận phương trình bậc hai. Chúng ta sẽ tìm hiểu các bước giải phương trình và cách số hóa các vấn đề.

Lý thuyết và Phương pháp giải phương trình bậc hai

Phương trình bậc hai có dạng ax2 + bx + c = 0. Đầu tiên, chúng ta cần điều chỉnh phương trình để nó có dạng chuẩn ax2 + bx + c = 0. Sau đó, chúng ta sẽ xét hai trường hợp khi hệ số a là số không và số khác không:

Trường hợp 1: a = 0, ta giải và biện luận phương trình bx + c = 0.
Trường hợp 2: a ≠ 0, ta tính Δ = b^2 - 4ac. Sau đó:
- Nếu Δ > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt.
- Nếu Δ = 0, phương trình có nghiệm kép: x = -b/2a.
- Nếu Δ < 0, phương trình vô nghiệm.

Kết thúc bằng việc đưa ra kết luận.

Chú ý:

Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm khi a ≠ 0.
Phương trình ax2 + bx + c = 0 có nghiệm duy nhất khi a ≠ 0.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Phương trình (m-1)x2 + 3x - 1 = 0. Phương trình có nghiệm khi:

Lời giải: Với m = 1, phương trình trở thành 3x - 1 = 0 ⇔ x = 1/3. Do đó m = 1 thỏa mãn.

Với m ≠ 1, ta có Δ = 9 + 4(m-1) = 4m + 5. Phương trình có nghiệm khi Δ ≥ 0. Hợp hai trường hợp ta được m ≥ -5/4 là giá trị cần tìm.

Bài 2: Phương trình (x2 - 3x + m)(x - 1) = 0 có 3 nghiệm phân biệt khi:

Lời giải: Phương trình (x2 - 3x + m)(x - 1) = 0 ⇔ Phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Bài 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [-10; 10] để phương trình mx2 - mx + 1 = 0 có nghiệm.

Lời giải: Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 1 = 0: vô nghiệm. Khi m ≠ 0, phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi Δ = m2 - 4m ≥ 0. Vì ∈ Z, m ∈ [-10;10] m ∈ {-10; -9; -8;...; -1} ∪ {4; 5; 6;...; 10}. Vậy có tất cả 17 giá trị nguyên m thỏa mãn bài toán.

Bài 4: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hai đồ thị hàm số y = -x2 - 2x + 3 và y = x2 - m có điểm chung

Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm -x2 - 2x + 3 = x2 - m ⇔ 2x2 + 2x - m - 3 = 0.

Để hai đồ thị hàm số có điểm chung khi và chỉ khi phương trình có nghiệm ⇔ Δ' = 1 - 2(-m-3) ≥ 0 ⇔ m ≥ -7/2.

Bài tập tự luyện

Bài 1: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m sau: x2−23m−1x+9m2−6m−8=0.

Hướng dẫn giải Ta có Δ'=b'2−ac=3m−12−1.9m2−6m−8=9>0. Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Bài 2: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m sau: 3x2−mx+9m2+m2=0.

Hướng dẫn giải Ta có Δ=b2−ac=−m2−4.3.m2=−11m2≤0

Trường hợp Δ = 0 ⇔−11m2=0⇔m=0. Phương trình có nghiệm kép x=02.3=0.
Trường hợp Δ < 0 nên phương trình vô nghiệm.

Bài 3: Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm phân biệt: mx2−2m−1x+m+1=0.

Hướng dẫn giải Phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt khi m≠0Δ' > 0. Ta có Δ'=b'2−ac=m−12−m.m+1=−3m+1. Δ' > 0 ⇔−3m+1>0⇔m<13. Vậy phương trình trên có hai nghiệm phân biệt khi m≠0 m < 13.

Bài 4: Giải và biện luận phương trình bậc hai theo tham số m sau: m−1x2−2mx+m+2=0.

Hướng dẫn giải +) Trường hợp m = 1 nghĩa là a = 0. Ta có m−1x2−2mx+m+2=0 -2x + 3 = 0 x=32 +) Trường hợp m ≠ 1 nghĩa là a ≠ 0. Ta có Δ'=b'2−ac=m2−m−1.m+2=−m+2 • Δ'=0 hay -m + 2 = 0 hay m = 2 thì phương trình có nghiệm kép. • Δ'>0 hay -m + 2 > 0 hay m > 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. • Δ'<0 hay -m + 2 < 0 hay m < 2 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 5: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: x2−2m−4x+m2=0.

Hướng dẫn giải Ta có Δ'=b'2−ac=m−42−1.m2=−8m+16. Xét các trường hợp của Δ’, ta có: • Δ'=0 hay -8m + 16 = 0 hay m = 2 thì phương trình có nghiệm kép. • Δ'>0 hay -8m + 16 > 0 hay m > 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt. • Δ'<0 hay -8m + 16 < 0 hay m < 2 thì phương trình vô nghiệm.

Bài 6: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: m−1x2−3mx+2m+1=0.

Bài 7: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: mx2−2m2x+1=0.

Bài 8: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: 2m−7x2+22m+5x−14m+1=0.

Bài 9: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: x2−mx+3m+1=0.

Bài 10: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m sau: m−3x2−5mx+3m−2=0.

Đặc biệt! Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 có đáp án hay khác trên website VietJack.

Săn SALE shopee Tết

Đồ dùng học tập giá rẻ.
Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai.
Tsubaki 199k/3 chai.
L'Oreal mua 1 tặng 3.

Hãy cùng ôn tập và rèn luyện kỹ năng giải phương trình bậc hai thật tốt để đạt được kết quả cao trong học tập và cuộc sống!