Trong bài viết này, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về quy luật viết dãy số cách đều và các ví dụ minh họa. Tuy nhiên, trước khi bắt đầu, hãy cùng nhìn lại các bài tập về dãy số cách đều trong bài viết trước.
Bài tập luyện tập về dãy số cách đều
Bài 1: Tính tổng
a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999. b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150 c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150.
Bài 2: Có bao nhiêu số
a, Có 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2? b, Có 4 chữ số chia hết cho 3? c, Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4?
Bài 3: Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số dãy thứ hai. Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy?
Bài 4: Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm.
Bài 5: Tìm tổng của:
a, Các số có hai chữ số chia hết cho 3; b, Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1; c, 100 số chẵn đầu tiên; d, 10 số lẻ khác nhau lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40.
Bài 6: Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào?
Bài 7: Cho dãy số gồm 25 số hạng:
.. . , 146, 150, 154. Hỏi số đầu tiên là số nào?
Bài 8: Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ số?
Bài 9: Viết các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào?
Bài 10: Có bao nhiêu số?
a, Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số? b, Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều lẻ? c, Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau?
Bài 11: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,…, x.
Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số
Bài 12: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…; 108,9; 110,0
a, Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b, Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?
Quy luật viết dãy số
1. Kiến thức cần lưu ý (cách giải)
Trước hết, chúng ta cần xác định quy luật của dãy số. Những quy luật thường gặp là:
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó cộng (hoặc trừ) với 1 số tự nhiên d;
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên q khác 0;
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó;
- Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên d cộng với số thứ tự của số hạng ấy;
- Số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước nhân với số thứ tự.
Loại 1: Dãy số cách đều
Bài 1: Viết tiếp 3 số: a, 5, 10, 15, … b, 3, 7, 11, …
Giải: a, Vì: 10 - 5 = 5 15 - 10 = 5 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 5 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25 25 + 5 = 30 Dãy số mới là: 5, 10, 15, 20, 25, 30.
b, 7 - 3 = 4 11 - 7 = 4 Dãy số trên 2 số hạng liền nhau hơn kém nhau 4 đơn vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 11 + 4 = 15 15 + 4 = 19 19 + 4 = 23 Dãy số mới là: 3, 7, 11, 15, 19, 23.
Dãy số cách đều thì hiệu của mỗi số hạng với số liền trước luôn bằng nhau.
Loại 2: Dãy số khác
Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, … b, 0, 2, 4, 6, 12, 22, … c, 0, 3, 7, 12, … d, 1, 2, 6, 24, …
Giải: a, Ta nhận xét: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 … Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (Kể từ số hạng thứ ba) bằng tổng của hai số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,…
b, Tương tự bài a, ta tìm ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. Viết tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau. 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, …
c, ta nhận xét: Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2 Số hạng thứ ba là: 7 = 3 + 1 + 3 Số hạng thứ tư là: 12 = 7 + 1 + 4 … Từ đó rút ra quy luật của dãy là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tổng của số hạng đứng trước nó cộng với 1 và cộng với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, …
d, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai là 2 = 1 x 2 Số hạng thứ ba là 6 = 2 x 3 số hạng thứ tư là 24 = 6 x 4 … Từ đó rút ra quy luật của dãy số là: Mỗi số hạng (kể từ số hạng thứ hai) bằng tích của số hạng đứng liền trước nó nhân với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp ba số hạng ta được dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, …
Loại 3: Xác định số a có thuộc dãy đã cho hay không
Cách giải:
- Xác định quy luật của dãy.
- Kiểm tra số a có thoả mãn quy luật đó hay không.
Bài tập: a, Các số 50 và 133 có thuộc dãy 90, 95, 100,. .. hay không? b, Số 1996 thuộc dãy 3, 6, 8, 11,. .. hay không? c, Số nào trong các số 666, 1000, 9999 thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. ..? Giải thích tại sao?
Giải: a, Cả 2 số 50 và 133 đều không thuộc dãy đã cho vì:
- Các số hạng của dãy đã cho đều lớn hơn 50;
- Các số hạng của dãy đã cho đều chia hết cho 5 mà 133 không chia hết cho 5.
b, Số 1996 không thuộc dãy đã cho, vì mọi số hạng của dãy khi chia cho đều dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1.
c, Cả 3 số 666, 1000, 9999 đều không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., vì:
- Mỗi số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ 2) bằng số hạng liền trước nhân với 2. Cho nên các số hạng (kể từ số hạng thứ 3) có số hạng đứng liền trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ.
- Các số hạng của dãy đều chia hết cho 3 mà 1000 không chia hết cho 3.
- Các số hạng của dãy (kể từ số hạng thứ hai) đều chẵn mà 9999 là số lẻ.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Viết tiếp hai số hạng của dãy số sau: a, 100; 93; 85; 76;… b, 10; 13; 18; 26;… c, 0; 1; 2; 4; 7; 12;… d, 0; 1; 4; 9; 18;… e, 5; 6; 8; 10;… f, 1; 6; 54; 648;… g, 1; 3; 3; 9; 27;… h, 1; 1; 3; 5; 17;…
Bài 2: Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó: 49 +. .. . .. = 420. Giải thích cách tìm.
Bài 3: Tìm hai số hạng đầu của các dãy sau: a,. . . , 39, 42, 45; b,. . . , 4, 2, 0; c,. . . , 23, 25, 27, 29; Biết rằng mỗi dãy có 15 số hạng.
Trên đây là một số dạng bài tập nâng cao về dãy số cách đều. Hy vọng bài viết đã mang lại cho bạn những kiến thức bổ ích. Hãy thực hành thật nhiều để nắm vững quy luật và cải thiện kỹ năng toán của mình.