Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức là một dạng bài tập thường xuất hiện trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 8. Trong bài viết sau đây, chúng ta sẽ cùng tìm hiểu lý thuyết và một số dạng toán để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức (biểu thức chứa dấu căn, biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối,...). Bài viết giúp bạn nắm được cách giải các dạng bài tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. Hãy cùng tham khảo nhé!
A. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
1. Khái niệm
- Nếu với mọi giá trị của biến thuộc một khoảng xác định nào đó mà giá trị của biểu thức A luôn luôn lớn hơn hoặc bằng (nhỏ hơn hoặc bằng) một hằng số k và tồn tại một giá trị của biến để A có giá trị bằng k thì k gọi là giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) của biểu thức A ứng với các giá trị của biến thuộc khoảng xác định nói trên.
2. Phương pháp
a) Để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta cần:
- Chứng minh A ≥ k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
b) Để tìm giá trị lớn nhất của A, ta cần:
- Chứng minh A ≤ k với k là hằng số
- Chỉ ra dấu “=” có thể xảy ra với giá trị nào đó của biến
Kí hiệu: min A là giá trị nhỏ nhất của A; max A là giá trị lớn nhất của A
B. Các bài tập tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức
I. Dạng 1: Tam thức bậc hai
Phương pháp: Đối với dạng tam thức bậc hai ta đưa biểu thức đã cho về dạng bình phương một tổng (hoặc hiệu) cộng (hoặc trừ) đi một số tự do.
Tổng quát:
- d - (a ± b)2 ≤ d Ta tìm được giá trị lớn nhất
- (a ± b)2 ± c ≥ ± c Ta tìm được giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = 6 - 8x - x2
Lời giải: Ta có: B = 6 - 8x - x2 = -(x2 + 8x) + 6 = -(x2 + 8x + 16) + 6 + 16 = -(x + 4)2 + 22 Vì (x +4)2 ≥ 0 ⇒ -(x +4)2 ≤ 0 ⇒ -(x +4)2 + 22 ≤ 22 Do đó, giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22
Ví dụ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = 4x2 + 8x + 10
Lời giải: C = 4x2 + 8x + 10 = (2x)2 + 2.2x.2 + 4 + 6 = (2x + 2)2 + 6 Với mọi x ta có: (2x + 2)2 ≥ 0 ⇒ (2x + 2)2 + 6 ≥ 6 Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6
Ví dụ 3: a, Tìm giá trị nhỏ nhất của A = 2x2 - 8x + 1 b, Tìm giá trị lớn nhất của B = -5x2 - 4x + 1
Lời giải: a, A = 2(x2 - 4x + 4) - 7 = 2(x - 2)2 - 7 ≥ -7 min A = -7 khi và chỉ khi x = 2
b, B = - 5left( {{x^2} + frac{4}{5}x} right) + 1 = - 5left( {{x^2} - 2.x.frac{2}{5} + frac{4}{{25}}} right) + frac{9}{5} = frac{9}{5} - 5{left( {x + frac{2}{5}} right)^2} le frac{9}{5}
max
Ví dụ 4: Cho tam thức bậc hai P(x) = ax2 + bx + c a, Tìm min P nếu a > 0 b, Tìm max P nếu a 0
Lời giải: Ta có ax^2 + bx + c = aleft( {x^2 + frac{b}{a}x} right) + c - ab
a, Nếu a > 0 thì do đó P ≥ k ⇒ min P = k b, Nếu a 0 thì do đó P ≤ k ⇒ max P = k ⇒
Bài tập vận dụng Bài tập: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây: a, A = -x2 + x + 1 b, B = x2 + 3x + 4 c, C = x2 - 11x + 30 d, D = x2 - 2x + 5 e, E = 3x2 - 6x + 4 f, F = -3x2 - 12x - 25
II. Dạng 2: Đa thức có dấu giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Có hai cách để giải bài toán này:
Cách 1: Dựa vào tính chất |x| ≥ 0. Ta biến đổi biểu thức A đã cho về dạng A ≥ a (với a là số đã biết) để suy ra giá trị nhỏ nhất của A là a hoặc biến đổi về dạng A ≤ b (với b là số đã biết) từ đó suy ra giá trị lớn nhất của A là b.
Cách 2: Dựa vào biểu thức chứa hai hạng tử là hai biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối. Ta sẽ sử dụng tính chất:
∀x, y ∈ ta có:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a. A = (3x - 1)2 - 4|3x - 1| + 5 b. B = |x - 2| + |x - 3|
Lời giải: a, A = {left( {3x - 1} right)^2} - 4left| {3x - 1} right| + 5 Đặt y = left| {3x - 1} right| Rightarrow A = {y^2} - 4y + 5 = {left( {y - 2} right)^2} + 1 ≥ 1 min A = 1 ⇔ y = 2 ⇔ left| {3x - 1} right| = 2 ⇔ left[ begin{array}{l}3x - 1 = 2\3x - 1 = - 2end{array} right. ⇔ left[ begin{array}{l}x = 1\x = dfrac{{ - 1}}{3}end{array} right.
b, B = left| {x - 2} right| + left| {x - 3} right| ≥ left| {x - 2 + 3 - x} right| = 1 ⇒ min B = 1 ⇔ left( {x - 2} right)left( {3 - x} right) ≥ 0 ⇔ 2 ≤ x ≤ 3 Vậy T ≥ 1 + 3 = 4 Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4 Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2|
Hướng dẫn giải Ta có: C = |x2 - x + 1| + |x2 - x - 2| ≥ |x2 - x + 1 + 2 + x - x2| = 3 MinC = 3 ⇔ (x2 - x + 1)(2 + x - x2) ≥ 0 ⇔ (x + 1)(x - 2) ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 2
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của T = |x - 1| + |x - 2| + |x - 3| + |x - 4|
Hướng dẫn giải Ta có |x - 1| + |x - 4| ≥ |x - 1 + 4 - x| = 3 (1) Và |x - 2| + |x - 3| ≥ |x - 2 +3 - x| = 1(2) Vậy T ≥ 1 + 3 = 4 Từ (1) suy ra dấu bằng xảy ra khi 1 ≤ x ≤ 4 Từ (2) suy ra dấu bằng xảy ra khi 2 ≤ x ≤ 3 Vậy T có giá trị nhỏ nhất bằng 4 khi 2 ≤ x ≤ 3
Bài tập vận dụng: Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của các biểu thức dưới đây: A = -x2 + x + 1 B = x2 + 3x + 4 C = x2 - 11x + 30 D = x2 - 2x + 5 E = 3x2 - 6x + 4 F = -3x2 - 12x - 25
III. Dạng 3: Đa thức bậc cao
- Dạng phân thức
- Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai
- Các phân thức có dạng khác
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau: a. A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) b. B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3 c. C = x2 + xy + y2 - 3x - 3
Lời giải: a, A = x(x - 3)(x - 4)(x - 7) = (x2 - 7x)(x2 - 7x + 12) Đặt y = x2 - 7x + 6 thì A = (y - 6)(y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 min A = - 36 khi và chỉ khi y = 0 khi và chỉ khi {x^2} + 7x + 6 = 0 khi và chỉ khi left[ begin{array}{l} x = 1\ x = 6 end{array} right.
b, B = 2x2 + y2 - 2xy - 2x + 3 = (x2 - 2xy + y2) + (x2 - 2x + 1) + 2 = {left( {x - y} right)^2} + {left( {x - 1} right)^2} + 2 ≥ 2 ⇒ min B = 2 ⇔ left( {x - y} right)left( {x - 1} right) = 0 ⇔ left[ begin{array}{l} x = y = 1 \end{array} right.
c, C = x2 + xy + y2 - 3x - 3 Ta có C + 3 = {left( {x^2} - 2x + 1} right) + {left( {y^2} - 2y + 1} right) + left( {xy - x - y + 1} right) = {left( {x - 1} right)^2} + {left( {y - 1} right)^2} + left( {x - 1} right)left( {y - 1} right) Đặt a = x - 1;b = y - 1 thì C + 3 = {a^2} + {b^2} + ab = {left( {a + frac{b}{2}} right)^2} + frac{{3{b^2}}}{4} ≥ 0 Vậy Min(C + 3) = 0 hay min C = -3⇔ a = b = 0 ⇔ x = y = 1
Bài tập vận dụng: Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: a, A = 2{x^2} + 2xy + {y^2} - 2x + 2y + 2 b, B = {x^4} - 8xy + {x^3}y + {x^2}{y^2} - x{y^3} + {y^4} + 200
Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = - {x^2} - {y^2} + xy + 2x + 2y
Sau đây là các bộ đề thi giữa kì 1 lớp 8 sách mới:
- Bộ đề thi giữa học kì 1 lớp 8 - Tất cả các môn
- Bộ đề thi giữa học kì 1 lớp 8 Kết nối tri thức - Tất cả các môn
- Bộ đề thi giữa học kì 1 lớp 8 Cánh diều - Tất cả các môn
- Bộ đề thi giữa học kì 1 lớp 8 Chân trời sáng tạo - Tất cả các môn
Đề thi giữa học kì 1 lớp 8 môn Toán - Kết nối Đề thi giữa học kì 1 lớp 8 môn Toán - Chân trời Đề thi giữa học kì 1 lớp 8 môn Toán - Cánh diều Đề thi giữa học kì 1 lớp 8 môn Văn - Kết nối Đề thi giữa học kì 1 lớp 8 môn Văn - Cánh diều Đề thi giữa học kì 1 lớp 8 môn Văn - Chân trời Đề thi giữa kì 1 tiếng Anh 8 Global success Đề thi giữa kì 1 tiếng Anh 8 Friends plus Đề thi giữa kì 1 tiếng Anh 8 i-Learn Smart World Đề thi học kì 2 lớp 8 môn KHTN Đề thi giữa kì 1 lớp 8 môn GDCD Đề thi giữa kì 1 lớp 8 môn Tin Đề thi giữa kì 1 lớp 8 môn Công nghệ Đề thi giữa kì 1 lớp 8 môn HĐTN Đề thi giữa kì 1 lớp 8 môn Lịch sử Địa lí
Toán 8 từ năm học 2023 - 2024 trở đi sẽ được giảng dạy theo 3 bộ sách: Chân trời sáng tạo; Kết nối tri thức với cuộc sống và Cánh diều. Việc lựa chọn giảng dạy bộ sách nào sẽ tùy thuộc vào các trường. Để giúp các thầy cô và các em học sinh làm quen với từng bộ sách mới, VnDoc sẽ cung cấp lời giải bài tập sách giáo khoa, sách bài tập, trắc nghiệm toán từng bài và các tài liệu giảng dạy, học tập khác. Mời các bạn tham khảo qua đường link bên dưới:
- Toán 8 Chân trời sáng tạo
- Toán 8 Kết nối tri thức
- Toán 8 Cánh diều