Tìm m để phương trình trùng phương vô nghiệm, có 1, 2, 3, 4 nghiệm

Một trong những bài toán quan trọng trong học toán lớp 9 là tìm m để phương trình trùng phương có 1, 2, 3 hoặc 4 nghiệm phân biệt. Bài viết này sẽ giúp bạn ôn tập và hiểu rõ cách giải bài toán này.

Phương pháp giải

Chúng ta có phương trình trùng phương dạng $ax^4 + bx^2 + c = 0$ với $a \neq 0$ (1)

Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $at^2 + bt + c = 0$ (2)

Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.

Để phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.

Để phương trình (1) có 3 nghiệm, phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.

Để phương trình (1) có 4 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^4 - 2(m + 4)x^2 + m^2 = 0$ (1). Tìm m để phương trình (1)

a. Có nghiệm

b. Có 1 nghiệm

c. Có 2 nghiệm phân biệt

d. Có 3 nghiệm phân biệt

e. Có 4 nghiệm phân biệt

Giải

Đặt $t = x^2$, khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 - 2(m + 4)t + m^2 = 0$ (2)

a. Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.

[ \Delta' = 8m + 16 = 0 \Rightarrow m = -2 ]

Với $m = -2$ thì phương trình (2) có nghiệm kép.

b. Để phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.

Vì $t = 0$ là nghiệm của phương trình (2), ta thay $t = 0$ vào (2) ta được:

[ m^2 = 0 \Rightarrow m = 0 ]

Với $m = 0$ thì phương trình (2) có dạng:

[ \Delta' = 16 \Rightarrow \Delta' > 0 ]

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 1 nghiệm.

c. Để phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.

[ \Delta' = 8m + 16 > 0 \Rightarrow m > -2 ]

Vậy với $m > -2$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

d. Để phương trình (1) có 3 nghiệm, phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.

Theo kết quả câu (b) ta có với $m = 0$ thì phương trình (2) có 2 nghiệm: t = 0, t = 8

Vậy với $m = 0$ thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

e. Để phương trình (1) có 4 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

[ \Delta' = 8m + 16 > 0 \Rightarrow m > -2 ]

Vậy với $m > -2$ và $m \neq 0$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2: Tìm m để phương trình $(m - 1)x^4 + 2(m - 3)x^2 + m + 3 = 0$ (1) vô nghiệm

Giải

Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $(m - 1)t^2 + 2(m - 3)t + m + 3 = 0$ (2)

Nếu $m = 1$ thì phương trình (2) có dạng: $-4t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$

Với $t = 1$ ⇒ $x^2 = 1 \Rightarrow x = ±1$

Suy ra $m = 1$ không thỏa mãn đề bài.

Nếu $m ≠ 1$ thì phương trình (2) là phương trình bậc hai.

Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.

[ \Delta' = 8m + 16 < 0 ]

Với $m < -3$ hoặc $m > \frac{3}{2}$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

Bài tập

Câu 1: Số giá trị của m để phương trình $mx^4 + 5x^2 - 1 = 0$ (1) có 2 nghiệm phân biệt là:

A. 1

B. 2

C. 3

D. vô số

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $mt^2 + 5t - 1 = 0$ (2)

Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 0 thỏa mãn.

Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai.

Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.

Với $m = 0$ và m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án là D

Câu 2: Tìm m để phương trình $x^4 - (3m + 4)x^2 + 12m = 0$ (1) có 4 nghiệm phân biệt là:

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 - (3m + 4)t + 12m = 0$ (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Với $m > 0$ và m ≠ $\frac{4}{3}$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án là B

Câu 3: Số giá trị của m để phương trình $x^4 - (m + 2)x^2 + m = 0$ (1) có 3 nghiệm phân biệt là:

A. 1

B. 3

C. 5

D. vô số

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 - (m + 2)t + m = 0$ (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2), ta thay t = 0 vào (2) ta được: m = 0

Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 0 thỏa mãn.

Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.

Đáp án là A

Câu 4: Tìm m để phương trình $x^4 + (1 - 2m)x^2 + m^2 - 1 = 0$ (1) vô nghiệm

A. không tồn tại m

B. m < -1 hoặc m > $\frac{5}{4}$

C. m > -1 hoặc m < -3

D. m > 2 hoặc m < -1

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 + (1 - 2m)t + m^2 -1 = 0$ (2)

Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.

Với m < -1 hoặc m > $\frac{5}{4}$ thì phương trình (1) vô nghiệm.

Đáp án là B

Câu 5: Số giá trị của m để phương trình $mx^4 - 2(m - 1)x^2 + m - 1 = 0$ (1) có 1 nghiệm là:

A. 0

B. 1

C. 2

D. vô số

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $mt^2 - 2(m - 1)t + m - 1 = 0$ (2)

Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng: 2t - 1 = 0 $\Rightarrow$ t = $\frac{1}{2}$

Suy ra m = 0 không thỏa mãn đề bài.

Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai.

Để phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2), ta thay t = 0 vào (2) ta được:

m - 1 = 0 $\Rightarrow$ m = 1

Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng: $t^2 = 0$ $\Rightarrow$ t = 0 ⇒ $x^2 = 0$ $\Rightarrow$ x = 0

Suy ra m = 1 thỏa mãn đề bài.

Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm.

Đáp án là B

Câu 6: Tìm m để phương trình $(m + 2)x^4 + 3x^2 - 1 = 0$ (1) có 4 nghiệm phân biệt

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $(m + 2)t^2 + 3t -1 = 0$ (2)

Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt.

Với $m$ > $\frac{-2}{3}$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.

Đáp án là C

Câu 7: Tìm m để phương trình $(m - 2)x^4 - 2(m + 1)x^2 + m - 1 = 0$ (1) có 3 nghiệm phân biệt

A. m = 1

B. m = -1

C. m = 0

D. không tồn tại m

Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $(m - 2)t^2 - 2(m + 1)t + m -1 = 0$ (2)

Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) phải là phương trình bậc hai có 2 nghiệm ,trong đó một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.

Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2), ta thay t = 0 vào (2) ta được:

m - 1 = 0 $\Rightarrow$ m = 1

Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng:

Suy ra m = 1 không thỏa mãn đề bài.

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 3 nghiệm.

Đáp án là D

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay

• Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)

• Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c)

• Cách giải phương trình bậc bốn dạng ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k2a = 0

Săn SALE shopee Tết:

• Đồ dùng học tập giá rẻ

• Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai

• Tsubaki 199k/3 chai

• L'Oreal mua 1 tặng 3

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán, Văn, Anh lớp 9 có đáp án

Đừng quên tìm hiểu thêm các dạng bài tập toán lớp 9 khác nhé!