Tuyển chọn những dạng bài tập Hàm số liên tục (có lời giải)

Bạn đang học Toán lớp 11 và đang tìm kiếm các dạng bài tập Hàm số liên tục? Bài viết này sẽ giúp bạn tổng hợp các dạng bài tập với lời giải chi tiết để bạn có thể làm quen và làm chủ kiến thức này.

30+ Các dạng bài tập Hàm số liên tục (chọn lọc, có lời giải)

Dưới đây là một số dạng bài tập Hàm số liên tục mà bạn có thể gặp trong quá trình học Toán lớp 11:

Tìm giới hạn của dãy số dạng phân thức
Tìm giới hạn của dãy số dạng chứa căn thức
Tìm giới hạn của dãy số hạng chứa lũy thừa
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn và các bài toán liên quan
Giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực
Giới hạn một bên
Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Tìm điều kiện của tham số m để hàm số liên tục
Ứng dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh phương trình có nghiệm

Hãy cùng tìm hiểu và làm quen với các dạng bài tập này để nắm vững kiến thức về Hàm số liên tục lớp 11.

Cách xét tính liên tục của hàm số

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) có tập xác định D và điểm x0 ∈ D. Để xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = x0 ta làm như sau:
- Tìm giới hạn của hàm số y = f(x) khi x → x0 và tính f(x0)
- Nếu tồn tại thì ta so sánh giới hạn của hàm số khi x tiến đến x0 với f(x0). Nếu bằng nhau thì hàm số liên tục tại x0.

Chú ý:

Nếu hàm số liên tục tại x0 thì trước hết hàm số phải xác định tại điểm đó.
...
Hàm số liên tục tại x = x0 ⇔ ...
Hàm số liên tục tại điểm x = x0 khi và chỉ khi

Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một tập

Ta sử dụng các định lý về tính liên tục của hàm đa thức, lượng giác, phân thức hữu tỉ ...

Nếu hàm số cho dưới dạng nhiều công thức thì ta xét tính liên tục trên mỗi khoảng đã chia và tại các điểm chia của các khoảng đó.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số sau tại x = 3

Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên R Ta có f(3) = 10/3 và ... Vậy hàm số không liên tục tại x = 3
Ta có f(3) = 4 và ... Vậy hàm số gián đoạn tại x = 3

Bài 2: Xét tính liên tục của các hàm số sau trên toàn trục số

f(x) = tan2x + cosx

Hướng dẫn:

TXĐ: Vậy hàm số liên tục trên D
Điều kiện xác định: Vậy hàm số liên tục trên (1;2) ∪ (2,+∞)

Bài 3: Xét tính liên tục của hàm số sau tại điểm chỉ ra

Hướng dẫn:

Ta có...

Vậy hàm số liên tục tại x = 1

Cách tìm m để hàm số liên tục

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ta sử dụng điều kiện để hàm số liên tục và điều kiện để phương trình có nghiệm để làm các bài toán dạng này.

Điều kiện để hàm số liên tục tại x0:
Điều kiện để hàm số liên tục trên một tập D là f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc D.
Phương trình có ít nhất một nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b thuộc D sao cho . Phương trình có k nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai+1) (i = 1,2,…,k) nằm trong D sao cho

Ví dụ minh họa

Bài 1: Xác định a để hàm số liên tục trên R.

Hướng dẫn:

Hàm số xác định trên R Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục Với x = 2 ta có Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 2 Vậy a = -1, a = 0.5 là những giá trị cần tìm.

Bài 2: Cho hàm số f(x) = x^3 - 1000x^2 + 0.01. Phương trình có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây? I. (-1; 0) II. (0; 1) III. (1; 2)

Hướng dẫn:

Ta có hàm số là hàm liên tục trên R f(0) = 0.01 và f(-1) = - 1001 + 0.01 < 0. Nên f(0).(-1) < 0. Vậy hàm số có nghiệm trong khoảng I

Bài 3: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R

Hướng dẫn:

Với x < 0 ⇒ hàm số liên tục Với x > 0 ⇒ hàm số liên tục Với x = 0 ta có Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 0

Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã có thể nắm vững kiến thức về các dạng bài tập Hàm số liên tục và biết cách giải quyết chúng. Nếu bạn cần thêm thông tin, hãy xem các bài viết khác về Toán lớp 11 trong đề thi THPT Quốc gia.

Săn SALE shopee Tết:

Đồ dùng học tập giá rẻ
Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
Tsubaki 199k/3 chai
L'Oreal mua 1 tặng 3