Trong Toán học, các phép tích phân đặc biệt đòi hỏi chúng ta phải áp dụng các kỹ thuật riêng để tính toán. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các phép tích phân đặc biệt và cách tính toán chúng.
Tích phân hàm phân thức hữu tỉ đơn giản nhất
Trong trường hợp đơn giản nhất, chúng ta có phép tích phân $int{dfrac{ax+b}{cx+d}dx}$, chúng ta có thể rút gọn tử số theo mẫu như sau:
$int{dfrac{ax+b}{cx+d}dx}=int{dfrac{dfrac{a}{c}(cx+d)+b-dfrac{ad}{c}}{cx+d}dx}=int{left( dfrac{a}{c}+dfrac{bc-ad}{c(cx+d)} right)dx}=dfrac{a}{c}x+dfrac{bc-ad}{{{c}^{2}}}ln left| cx+d right|+C$
Các ví dụ về phép tích phân hàm phân thức hữu tỉ
Ví dụ 1:
[int{dfrac{2x+1}{x-2}dx}=int{dfrac{2( x-2 )+5}{x-2}dx}=int{left( 2+dfrac{5}{x-2} right)dx}=2x+5ln left| x-2 right|+C.]
Ví dụ 2:
[int {dfrac{{x + 1}}{{2x - 1}}dx} = int {dfrac{{dfrac{1}{2}( 2x - 1 ) + \frac{3}{2}}}{{2x - 1}}dx} ]
$= int {left( \frac{1}{2} + \frac{3}{{2( 2x - 1 )}} \right)dx} = \frac{1}{2}x + \frac{3}{4}ln left| {2x - 1} right| + C.$
Ví dụ 3:
Có bao nhiêu số thực dương $a$ để [intlimits_{0}^{1}{dfrac{2x+a}{x+a}dx}=2-2a?]
A. $2.$
B. $0.$
C. $1.$
D. $3.$
Giải. Ta có [intlimits_0^1 {dfrac{{2x + a}}{{x + a}}dx} = intlimits_0^1 {dfrac{{2( x + a ) - a}}{{x + a}}dx} = intlimits_0^1 {left( 2 - \dfrac{a}{{x + a}} \right)dx} = \left( 2x - aln left| {x + a} right| \right)\left| begin{gathered} 1 hfill \ 0 hfill \ end{gathered} right.]
$=2 - aln left| \dfrac{a + 1}{a} right| = 2 - aln left( \dfrac{a + 1}{a} right), \left( a>0 \right)]$
Vậy $2 - aln left( \dfrac{a + 1}{a} right) = 2 - 2aLeftrightarrow a\left[ ln left( \dfrac{a + 1}{a} right) - 2 \right] = 0]$
$\Leftrightarrow ln left( \dfrac{a + 1}{a} right) - 2 = 0, \left( a>0 \right) \Leftrightarrow \dfrac{a + 1}{a}={{e}^{2}} \Leftrightarrow a=\dfrac{1}{{{e}^{2}}-1}.]$
Chọn đáp án C.
Áp dụng phương pháp tương tự cho các nguyên hàm dạng $int{dfrac{ax+b}{{{( cx+d )}^{n}}}dx}$
Ví dụ 4: [int{dfrac{2x+1}{{{( x+2 )}^{3}}}dx}=int{dfrac{2( x+2 )-3}{{{( x+2 )}^{3}}}dx}]
$=int{left( \dfrac{2}{{{( x+2 )}^{2}}} - \dfrac{3}{{{( x+2 )}^{3}}} \right)dx} = -\dfrac{2}{x+2} + \dfrac{3}{2{{( x+2 )}^{2}}}+C.$
Ví dụ 5: Có bao nhiêu số thực dương $a$ để [intlimits_{0}^{1}{dfrac{x+a+1}{{{( x+a )}^{2}}}dx}=ln left( \dfrac{2a+2}{a} right)?]
A. $2.$
B. $0.$
C. $1.$
D. $3.$
Giải. Ta có [intlimits{0}^{1}{dfrac{x+a+1}{{{( x+a )}^{2}}}dx}=intlimits{0}^{1}{dfrac{{( x+a )+1}}{{{( x+a )}^{2}}}dx}=intlimits_{0}^{1}{left( \dfrac{1}{{x+a}}+\dfrac{1}{{{{( x+a )}^{2}}}} \right)dx}]
$=\left( {ln left| {x + a} right| - \dfrac{1}{{x + a}}} \right)\left| begin{gathered} 1 hfill \ 0 hfill \ end{gathered} right.]$
$=\left( {ln left( {\dfrac{{a + 1}}{a}} \right) - \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{a}} \right)\left( {a>0} \right)$
Vậy $\left( {ln left( {\dfrac{{a + 1}}{a}} \right) - \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{a}} \right) = ln left( {\dfrac{{2a + 2}}{a}} \right)\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{{a + 1}} + \dfrac{1}{a}=ln 2]$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{{a^2+a}}=ln 2\Leftrightarrow a=\dfrac{1}{{e^2-1}.]$
Chọn đáp án C.
Phương pháp chung để tìm nguyên hàm và tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ
Để tìm nguyên hàm và tính tích phân của hàm phân thức hữu tỉ, chúng ta căn cứ vào bậc của tử và mẫu cùng dạng của mẫu.
Chúng ta có một số công thức sau đây:
-
[int{dfrac{du}{u}}=ln left| u right|+C.]
-
[int{dfrac{1}{ax+b}dx}=dfrac{1}{a}ln left| ax+b right|+C.]
-
[int{dfrac{1}{{{( ax+b )}^{n}}}dx}] $= \begin{cases} \dfrac{-1}{a(n-1)( ax+b )^{n-1}}, & \text{if } n \neq 1 \ \ \text{ln }| ax+b |, & \text{if } n = 1 \ \end{cases}$
-
[int{dfrac{1}{{{x}^{2}}-{{a}^{2}}}dx}= \begin{cases} \dfrac{1}{2a}ln \left| \dfrac{x-a}{x+a} \right|+C, & \text{if } a>0 \ \ \dfrac{1}{2a}ln \left| \dfrac{x+a}{x-a} \right|+C, & \text{if } a0 \ \end{cases}$
-
[int{dfrac{1}{(x-a)(x-b)}dx}=dfrac{1}{a-b}ln \left| \dfrac{x-a}{x-b} \right|+C.]
-
[int{dfrac{1}{{{x}^{2}}+{{a}^{2}}}dx}= \begin{cases} \dfrac{1}{a}arctan \dfrac{x}{a}+C, & \text{if } a>0 \ \ \dfrac{-1}{a}arctan \dfrac{x}{a}+C, & \text{if } a0 \ \end{cases}$
-
[int{dfrac{du}{{{u}^{2}}+{{a}^{2}}}}= \begin{cases} \dfrac{1}{a}arctan \dfrac{u}{a}+C, & \text{if } a>0 \ \ \dfrac{-1}{a}arctan \dfrac{u}{a}+C, & \text{if } a0 \ \end{cases}$
-
[int{dfrac{1}{{{( ax+b )}^{2}}+{{c}^{2}}}dx}=dfrac{1}{ac}arctan \left( \dfrac{ax+b}{c} \right)+C.]
Các công thức này có thể được áp dụng để tính các nguyên hàm và tích phân của các hàm phân thức hữu tỉ. Hãy nhớ rằng mỗi bài toán có thể đòi hỏi các phép biến đổi riêng để giải quyết.