Bạn có biết từ các chữ số 0,1,2,4,5,7,8,9, chúng ta có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số đôi một khác nhau và là một số chia hết cho 15 không? Đây là một bài toán khó nhé, nhưng hãy cùng tìm hiểu và giải quyết nó!
Phân tích bài toán
Để tìm số cần tìm, chúng ta cần xác định được các điều kiện để số đó chia hết cho 15.
Số cần tìm có dạng N = abcd. Vì N chia hết cho 15, ta có:
- N chia hết cho 5 ⇔ d = 0 hoặc d = 5
- N chia hết cho 3 ⇔ a + b + c + d chia hết cho 3
Xác định các tập hợp con
Để giải quyết bài toán này, ta sẽ phân chia tập X = {0,1,2,4,5,7,8,9} thành 3 tập con:
- X1 = {0,9}
- X2 = {1,4,7}
- X3 = {2,5,8}
Các trường hợp có thể xảy ra
Các trường hợp có thể xảy ra là:
- Nếu d = 0:
- Nếu a + b + c = 3k với k là số tự nhiên, khi đó a, b, c thuộc X2 và X3, hoặc có ít nhất 1 số thuộc X1 và 1 số thuộc X2 và X3. Trường hợp này có tổng cộng 3! + 3! + C(1,1) C(3,1) C(3,1) * 3! = 66 số.
- Nếu d = 5:
- Nếu a + b + c = 3k - 5 = 3(k - 2) + 1 = 3m + 1 với m là số tự nhiên, khi đó có 2 số thuộc X1 và 1 số thuộc X2, hoặc có 2 số thuộc X2 và 1 số thuộc X3 (loại trừ số 5), hoặc có 2 số thuộc X3 (loại trừ số 5) và 1 số thuộc X1. Trường hợp này có tổng cộng C(2,2) C(3,1) (2 2!) + C(3,2) C(2,1) 3! + (2 2! + 3!) = 58 số.
Vậy có tổng cộng 66 + 58 = 124 số thoả mãn. Đáp án là A.
Hãy xem thêm
Bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên
Chúng ta có thể sử dụng bảng ghi nhớ điều kiện chia hết cho một số nguyên để giúp giải quyết các bài toán liên quan đến việc chia hết. Dưới đây là một số điều kiện chia hết cho các số nguyên:
| Chia hết cho | Điều kiện chia hết |
|---|---|
| 2 | Chữ số tận cùng (hàng đơn vị) là chẵn (0, 2, 4, 6, hay 8) |
| 3 hoặc 9 | Số chia hết cho 3 (hoặc 9) khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 3 (hoặc 9) |
| 4 | Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 4 |
| 5 | Chữ số tận cùng là 0 hoặc 5 |
| 6 | Số đó chia hết cho cả 2 và 3 |
| 7 | Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 7 |
| 8 | Ba chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 8 |
| 10 | Chữ số hàng đơn vị là 0 |
| 11 | Tổng đan dấu các chữ số của nó là một số chia hết cho 11 |
| 12 | Số đó chia hết cho cả 3 và 4 |
| 13 | Tổng đan dấu từng nhóm ba chữ số của nó từ phải qua trái là một số chia hết cho 13 |
| 14 | Số đó chia hết cho cả 2 và 7 |
| 15 | Số đó chia hết cho cả 3 và 5 |
| 16 | Bốn chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 16 |
| 20 hoặc 25 | Hai chữ số tận cùng của nó là một số chia hết cho 20 (hoặc 25) |
Với bảng ghi nhớ này, chúng ta có thể dễ dàng xác định được điều kiện chia hết của một số nguyên.