Vted giới thiệu đến quý thầy cô và các em học sinh một số Công thức giải nhanh hình toạ độ Oxyz được trích từ Combo X
Dành cho học sinh 2K5 phục vụ trực tiếp kì thi THPT quốc gia môn Toán do thầy Đặng Thành Nam biên soạn. Hy vọng bài viết này, giúp ích nhiều cho quý thầy cô giáo và các em học sinh.
Các em học sinh hãy để lại bình luận bên dưới bài viết này về các công thức mà các em cần công thức tính nhanh, để thầy biên soạn và cập nhật cho các em nhé!
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 1:
CÁCH XÁC ĐỊNH NHANH TOẠ ĐỘ TÂM ĐƯỜNG TRÒN NỘI TIẾP TAM GIÁC TRONG KHÔNG GIAN OXYZ
Bài viết này Vted trình bày cho các em một công thức xác định nhanh toạ độ tâm của đường tròn nội tiếp tam giác trong bài toán Hình giải tích không gian Oxyz.
Chú ý với I là tâm nội tiếp tam giác ABC ta có đẳng thức véctơ sau đây:
[BC.(IA) + CA.(IB) + AB.(IC) = 0 ]
Chuyển qua toạ độ trong không gian Oxyz, ta có thể xác định được nhanh toạ độ điểm I như sau:
{
x_I = (BC.x_A + CA.x_B + AB.x_C) / (BC + CA + AB)
y_I = (BC.y_A + CA.y_B + AB.y_C) / (BC + CA + AB)
z_I = (BC.z_A + CA.z_B + AB.z_C) / (BC + CA + AB)
}Chứng minh đẳng thức này bạn đọc xem tại đây: https://www.vted.vn/tin-tuc/dang-thuc-vecto-lien-quan-den-tam-noi-tiep-tam-giac-4823.html
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với toạ độ các đỉnh A(1;1;1), B(4;1;1), C(1;1;5). Tìm toạ độ điểm I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
A. I(-2;-1;-2). B. I(2;-1;2). C. I(2;1;2). D. I(1;2;2).
Lời giải. Ta có BC=5, CA=4, AB=3. Do đó
{
x_I = (BC.x_A + CA.x_B + AB.x_C) / (BC + CA + AB) = (5.1 + 4.4 + 3.1) / (5 + 4 + 3) = 2
y_I = (BC.y_A + CA.y_B + AB.y_C) / (BC + CA + AB) = (5.1 + 4.1 + 3.1) / (5 + 4 + 3) = 1
z_I = (BC.z_A + CA.z_B + AB.z_C) / (BC + CA + AB) = (5.1 + 4.1 + 3.5) / (5 + 4 + 3) = 2
}Vậy I(2;1;2) là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(2;2;1), B(-8/3;4/3;8/3). Đường thẳng đi qua tâm đường tròn nội tiếp tam giác AOB và vuông góc với mặt phẳng (AOB) có phương trình là
A. (x+1)/1=(y-3)/-2=(z+1)/2. B. (x+1)/1=(y-8)/-2=(z-4)/2. C. (x+1)/1=(y+1/3)/1=(z+1/2)/0. D. (x+2/9)/1=(y-2/9)/-2=(z+5/9)/2.
Lời giải.
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 2
XÁC ĐỊNH BÁN KÍNH NGOẠI TIẾP TAM GIÁC
Ta đã biết công thức từ chương trình hệ thức lượng Hình học Toán 10 như sau:
R=abc / (4S),trong đó a, b, c là độ dài ba cạnh tam giác và S là diện tích tam giác.
Áp dụng trong hình toạ độ không gian Oxyz, ta được
R= AB.BC.CA / (2 * | [overrightarrow{AB},overrightarrow{AC}] |),trong đó tất cả các phép toán có trong công thức trên hoàn toàn bấm trực tiếp bằng máy tính.
Câu 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(2;0;-1), B(1;-2;3), C(0;1;2). Tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
A. 7sqrt(11)/10.
B. 7sqrt(11)/5.
C. 11sqrt(7)/10.
D. 11sqrt(7)/5.
Giải. Ta có AB=sqrt(21), BC=sqrt(11), CA=sqrt(14), S(ABC)=1/2 * | [overrightarrow(AB),overrightarrow(AC)] | =5sqrt(3/2).
Vì vậy R= AB.BC.CA / (4S(ABC)) = (sqrt(21).sqrt(11).sqrt(14))/(4*5sqrt(3/2)) = 7sqrt(11)/10.
Chọn đáp án A.
Chú ý. Thao tác tất cả bằng máy tính, kết quả R ≈ 2,3216375 lẻ sau đó Bình phương kết quả ta được R^2 = 539/100 => R = 7sqrt(11)/10.
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 3
XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ HÌNH CHIẾU CỦA MỘT ĐIỂM LÊN CÁC TRỤC TOẠ ĐỘ, MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ
• Xét điểm M(x0;y0;z0) khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz lần lượt là A(x0;0;0),B(0;y0;0),C(0;0;z0).
• Xét điểm M(x0;y0;z0) khi đó toạ độ hình chiếu vuông góc của M lên các mặt phẳng toạ độ (Oxy),(Oyz),(Ozx) lần lượt là A(x0;y0;0),B(0;y0;z0),C(x0;0;z0).
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của M(3;2;6) trên các trục toạ độ Ox,Oy,Oz.
Giải. Ta có A(3;0;0),B(0;2;0),C(0;0;6)=> (ABC) : (x/3) + (y/2) + (z/6) = 1.
Ví dụ 2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua các hình chiếu vuông góc của M(1;2;3) trên các mặt phẳng toạ độ (Oxy),(Oyz),(Ozx).
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 4
XÁC ĐỊNH TOẠ ĐỘ ĐIỂM ĐỐI XỨNG QUA ĐƯỜNG THẲNG, MẶT PHẲNG
• Xét điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng (P):ax+by+cz+d=0.
Điểm N(x;y;z) đối xứng với M qua mặt phẳng (P) có toạ độ là nghiệm của hệ
{
(x - x0)/a = (y - y0)/b = (z - z0)/c,
a(x + x0)/2 + b(y + y0)/2 + c(z + z0)/2 + d = 0
}Ví dụ 1. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2x - 3y + 5z - 4 = 0 và kí hiệu (Q) là mặt phẳng đối xứng với mặt phẳng (P) qua mặt phẳng (Oxz). Hỏi phương trình của mặt phẳng (Q) là?
A. (Q):2x + 3y + 5z - 4 = 0. B. (Q):2x + 3y + 5z + 4 = 0. C. (Q):2x - 3y + 5z + 4 = 0. D. (Q):2x - 3y + 5z - 4 = 0.
Giải. Xét điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng (P),N(x;y;z) là điểm đối xứng với M qua (Oxz), ta có (Ozx):y=0=>
{
x = x0 - (2 * (a*x0 + b*y0 + c*z0 + d)) / (a^2 + b^2 + c^2),
y = y0 - (2 * (a*x0 + b*y0 + c*z0 + d)) / (a^2 + b^2 + c^2),
z = z0 - (2 * (a*x0 + b*y0 + c*z0 + d)) / (a^2 + b^2 + c^2)
}Thay vào phương trình của (P), ta được: 2x - 3(-y) + 5z - 4 = 0 => (Q):2x + 3y + 5z - 4 = 0.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):x + 2y + 3z + 4 = 0. Biết M,N là hai điểm đối xứng với nhau qua mặt phẳng (P) và M thuộc mặt cầu (T):x^2 + (y+4)^2 + z^2 = 5. Hỏi điểm N thuộc mặt cầu nào dưới đây?
A. (S):x^2 + y^2 + z^2 - (8/7)x + (40/7)y - (24/7)z + (45/7) = 0. B. (S):x^2 + y^2 + z^2 - (8/7)x - (40/7)y - (24/7)z + (45/7) = 0. C. (S):x^2 + y^2 + z^2 + (8/7)x + (40/7)y + (24/7)z + (45/7) = 0. D. (S):x^2 + y^2 + z^2 + (8/7)x - (40/7)y + (24/7)z + (45/7) = 0.
Lời giải. Xét điểm M(x0;y0;z0) và mặt phẳng (P), điểm N là điểm đối xứng với M qua mặt phẳng (P) và M thuộc mặt cầu (T), ta có
{
(x - x0)/(a1 + a2) = (y - y0)/(b1 + b2) = (z - z0)/(c1 + c2),
(a1.x + b1.y + c1.z + d1)/(a1 + b1 + c1) = (a2.x + b2.y + c2.z + d2)/(a2 + b2 + c2)
}Chú ý: 2 đẳng thức trên hoàn toàn bằng máy tính
Chọn đáp án A.
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 5
MẶT PHẲNG PHÂN GIÁC CỦA HAI MẶT PHẲNG GIAO NHAU
Xét hai mặt phẳng (alpha):a1x + b1y + c1z + d1 = 0, (beta):a2x + b2y + c2z + d2 = 0.
Khi đó phương trình mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi (alpha),(beta) là
[a1x + b1y + c1z + d1)/sqrt(a1^2 + b1^2 + c1^2)] = [a2x + b2y + c2z + d1)/sqrt(a2^2 + b2^2 + c2^2)].
CÔNG THỨC TÍNH NHANH 6
VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC TRONG VÀ NGOÀI CỦA TAM GIÁC
Xét tam giác ABC, khi đó đường phân giác trong góc A có véctơ chỉ phương là
[a1x + b1y + c1z)/(a1^2 + b1^2 + c1^2)] + [a2x + b2y + c2z)/(-a2^2 - b2^2 - c2^2)].
Ngược lại, đường phân giác ngoài góc A có véctơ chỉ phương là
[a1x + b1y + c1z)/(a1^2 + b1^2 + c1^2)] + [a2x + b2y + c2z)/(a2^2 + b2^2 + c2^2)].