Hệ phương trình tuyến tính tổng quát: Giải và biện luận

Hệ phương trình tuyến tính là một trong những vấn đề quan trọng trong toán học và ứng dụng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về hệ phương trình tuyến tính tổng quát và cách giải và biện luận cho nó.

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát

Hệ phương trình tuyến tính tổng quát là hệ phương trình có dạng:

$$ \begin{gathered} a_{11}x1 + a{12}x2 + ... + a{1n}x_1 = b1 \ a{21}x1 + a{22}x2 + ... + a{2n}x_n = b2 \ ... \ a{m1}x1 + a{m2}x2 + ... + a{mn}x_n = b_m \ \end{gathered} $$

Trên đây, $a_{ij}$ là các hệ số, $x_i$ là các ẩn, $b_i$ là các hằng số và $m$, $n$ là số phương trình và số ẩn tương ứng trong hệ.

Đặt ma trận hệ số và giải hệ phương trình

Hệ phương trình tuyến tính đã cho có thể được viết dưới dạng ma trận $AX = B$. Đặt:

$$ A = \left( \begin{array}{cccc} a{11} & a{12} & ... & a{1n} \ a{21} & a{22} & ... & a{2n} \ ... & ... & ... & ... \ a{m1} & a{m2} & ... & a_{mn} \ \end{array} \right), X = \left( \begin{array}{c} x_1 \ x_2 \ ... \ x_n \ \end{array} \right), B = \left( \begin{array}{c} b_1 \ b_2 \ ... \ b_m \ \end{array} \right) $$

Với ma trận mở rộng $\overline{A}$:

$$ \overline{A} = \left( \begin{array}{cccc|c} a{11} & a{12} & ... & a_{1n} & b1 \ a{21} & a{22} & ... & a{2n} & b2 \ ... & ... & ... & ... & ... \ a{m1} & a{m2} & ... & a{mn} & b_m \ \end{array} \right) $$

Hệ phương trình đã cho có thể được giải bằng cách giải ma trận hệ số $A$ và ma trận mở rộng $\overline{A}$. Nếu hệ có nghiệm, thì ma trận $\overline{A}$ có thể được biểu diễn dưới dạng tuyến tính của ma trận cột $\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c \right}$ của ma trận $A$. Hệ có bao nhiêu nghiệm, thì có bấy nhiêu cách biểu diễn tuyến tính vector $B$ qua hệ vector cột của ma trận $A$. Điều này có nghĩa là hệ có nghiệm nếu và chỉ nếu hệ vector $B$ là tuyến tính qua hệ vector cột của ma trận $A$.

Mọi định thức con của $A$ đều là định thức con của $\overline{A}$ do đó $0 \le r(A) \le r(\overline{A}) \le \min \left{ m, n+1 \right}$.

Điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính tổng quát có nghiệm

Định lí Kronecker - Capelli cho biết điều kiện cần và đủ để hệ phương trình tuyến tính có nghiệm là $r(A) = r(\overline{A})$.

Chứng minh:

Ta có $r(A) = r\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c \right}$, $r(\overline{A}) = r\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c, B \right}$.

• Điều kiện cần: Nếu hệ có nghiệm thì vector $B$ được biểu diễn tuyến tính qua hệ vector $\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c \right}$.

Do đó, $r\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c, B \right} = r\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c \right} \Rightarrow r(\overline{A}) = r(A)$.

• Điều kiện đủ: Nếu $r(A) = r(\overline{A})$, tức là $r\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c \right} = r\left{ A_1^c, A_2^c, ..., A_n^c, B \right}$.

Ta phải chứng minh điều kiện này.

Khảo sát tổng quát hệ phương trình tuyến tính

Cho hệ phương trình tuyến tính có $n$ ẩn, các ma trận hệ số và ma trận hệ số mở rộng lần lượt là $A$, $\overline{A}$. Khi đó:

• Nếu $r(A) = r(\overline{A}) = n$ (số ẩn của hệ) thì hệ có nghiệm duy nhất.
• Nếu $r(A) = r(\overline{A}) = r
• Nếu $r(A) r(\overline{A})$ thì hệ vô nghiệm.

Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình

Ví dụ 1: Giải và biện luận hệ phương trình

Cho hệ phương trình sau:

2x - 2y + z - t = a x + 2y - z + t = -1 ax + ay - z - t = -1 x + y + z + t = -a

Giải:

Biến đổi sơ cấp cho ma trận hệ số mở rộng, ta có:

[1  -1  1   1  a] [0   2 -2   0 -2a] [0   0 -a  -a   a^2-1] [0   0  0   a^2-2a-3 2a^2-2]

• Nếu a ≠ -1 thì r(A) = r(overline{A}) = 4, vậy hệ có nghiệm duy nhất và nghiệm của hệ là:

x = (2a - 2) / (a^2 - 2a - 3) y = - (a + 1) / (a^2 - 2a - 3) z = (2 - 2a) / (a^2 - 2a - 3) t = (a^2 - 1) / (a^2 - 2a - 3)

• Nếu a = -1 thì r(A) = r(overline{A}) = 2 4, vậy hệ có vô số nghiệm và tương đương với hệ phương trình:

x - y + z - t = -1 2y - 2z = 2

Ví dụ 2: Giải và biện luận hệ phương trình

Cho hệ phương trình sau:

x - y + az + t = a x + ay - z + t = -1 ax + ay - z - t = -1 x + y + z + t = -a

Giải:

Biến đổi ma trận hệ số mở rộng, ta có:

[1 -1   a   1  a] [1  a  -1   1 -1] [a  a  -1  -1 a^2-1] [1  1   1   1  -a]

• Nếu a ≠ 3 thì r(A) = r(overline{A}) = 4 và hệ có nghiệm duy nhất, vậy hệ tương đương với:

x = (2a - 2) / (3 - a) y = - (a + 1) / (3 - a) z = (2 - 2a) / (3 - a) t = (a^2 - 1) / (3 - a)

• Nếu a = 3 thì r(A) = 3 r(overline{A}) = 4 vậy hệ vô nghiệm.
• Nếu a = -1 thì r(A) = r(overline{A}) = 4 và hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số:

x = (2a - 2) y = (a + 1) z = (2 - 2a) t = (a^2 - 1)

Tóm lại, ta đã tìm được các nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tổng quát và biện luận về các trường hợp có nghiệm duy nhất, vô nghiệm và vô số nghiệm phụ thuộc tham số của hệ. Điều này cho thấy tầm quan trọng và ứng dụng của hệ phương trình tuyến tính trong toán học và các lĩnh vực khác.