Introduction: Chào các bạn học sinh lớp 8! Bài viết này sẽ giới thiệu với các bạn đề tài "Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức" trong môn Toán. Đây là một chủ đề quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 và thường xuyên xuất hiện trong các bài kiểm tra. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các bạn nắm vững kiến thức và rèn kỹ năng giải bài tập.
Bài tập nâng cao: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Chuyên đề này được chia thành hai phần: Lý thuyết và bài tập vận dụng. Phần lý thuyết cung cấp các ví dụ để giúp các bạn học sinh hiểu rõ hơn về cách giải quyết các bài tập. Phần bài tập được tuyển chọn kỹ lưỡng để các bạn áp dụng những kiến thức đã học vào thực hành. Đồng thời, đây cũng là tài liệu bổ ích để ôn tập cho các bạn chuẩn bị dự thi học sinh giỏi lớp 8.
A. Kiến thức cần nhớ khi tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
I. Định nghĩa
- Nếu với mọi x ta có A(x) ≤ A(x₀) (a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất của A(x) với x = x₀. Kí hiệu: max A(x) = a (x = x₀).
- Nếu với mọi x ta có B(x) ≥ B(x₀) (b là hằng số) thì ta nói b là giá trị nhỏ nhất của B(x) với x = x₀. Kí hiệu: min B(x) = b (x = x₀).
- Nếu với mọi x, y, z,... ta có A(x, y, z,...) ≤ A(x₀, y₀, z₀,...) (a là hằng số) thì ta nói a là giá trị lớn nhất của A(x, y, z,...) với x = x₀, y = y₀, z = z₀,... Kí hiệu: max A(x, y, z,...) = a (x = x₀, y = y₀, z = z₀,...).
- Nếu với mọi x, y, z,... ta có B(x, y, z,...) ≥ B(x₀, y₀, z₀,...) (b là hằng số) thì ta nói b là giá trị nhỏ nhất của B(x, y, z,...) với x = x₀, y = y₀, z = z₀,... Kí hiệu: min B(x, y, z,...) = b (x = x₀, y = y₀, z = z₀,...).
II. Một số bất đẳng tức hay dùng
-
Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si):
- Với hai số không âm a, b ta có: a + b ≥ 2√(ab)
- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
- Với n số không âm a₁, a₂, ..., aₙ ta có: (∑aᵢ/n)ⁿ ≥ (a₁a₂...aₙ)
- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a₁ = a₂ = ... = aₙ.
- Vài dạng cụ thể hay gặp: a² + b² ≥ 2ab; (a + b)² ≥ 4ab; ab ≤ ((a + b)/2)² ≤ (a² + b²)/2.
-
Bất đẳng thức Bunyakovski (Bu-nhi-a-cốp-xki):
- Với hai bộ n số (a₁, a₂, ..., aₙ), (b₁, b₂, ..., bₙ) ta có: (∑aᵢbᵢ)² ≤ (∑aᵢ²)(∑bᵢ²)
- Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi tồn tại t sao cho aᵢ = tbᵢ (i = 1,2,...,n).
- Nếu bᵢ ≠ 0 thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a₁/a₂ = a₂/a₃ = ... = aₙ/bₙ.
-
Bất đẳng thức GTTĐ (giá trị tuyệt đối):
- |a + b| ≤ |a| + |b|. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi ab ≥ 0.
- |a - b| ≥ |a| - |b|. Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi b(|a - b|) ≥ 0.
-
Bất đẳng thức tam giác:
- Với a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì a + b > c; a - b c.
B. Bài tập vận dụng tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
-
Dạng 1: dạng phân tích thành bình phương của tổng hiệu, đặt biến phụ:
- Bài 1: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x² - 4x + 24. b) Tìm giá trị lớn nhất của B = -3x² - 2x + 1. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C = x² - 6x + 11.
-
Dạng 2: dạng toán về phân thức:
- Bài 2: a) Tìm giá trị lớn nhất của C = (4 - x²)/(x² + 1). b) Tìm giá trị nhỏ nhất của D = (x² - 4x - 4)/(x² - 4x + 5).
- Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức T = (8x + 12)/(x² + 4).
- Bài 4: Với x, y, z > 0, tìm giá trị nhỏ nhất của A = (x + y)(1/x + 1/y).
-
Dạng 3: dạng các biến bị ràng buộc bởi các hệ thức:
- Bài 5: Cho a + b + c = 5. a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a² + b² + c². b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = ab + bc + ca. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A + B.
-
Dạng 4: dạng chứa dấu giá trị tuyệt đối:
- Bài 6: a) Tìm giá trị nhỏ nhất của A = |5x + 2|. b) Tìm giá trị lớn nhất của B = 2 - |4 - 3x|. c) Tìm giá trị nhỏ nhất của C = |x - 4| + |x - 3|. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của D = (5x - 3)² - 4|5x - 3| + 14.
Tài liệu vẫn còn tiếp tục, bạn có thể tải về để xem toàn bộ. Trên đây là những kiến thức nền tảng và bài tập nâng cao Toán lớp 8 về tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức. Hy vọng rằng tài liệu này sẽ giúp các bạn rèn luyện và thành công trong việc giải các bài tập này. Chúc các bạn học tốt và ôn thi đạt kết quả cao!