Cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Chi tiết và dễ hiểu

Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là một khái niệm gây khó khăn cho nhiều người. Tuy nhiên, với bài viết này, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về cách giải bất phương trình này một cách chi tiết và dễ dàng áp dụng. Bài viết sẽ cung cấp các ví dụ và mô tả rõ ràng các bước giải, đồng thời giúp bạn làm quen với các bài tập thực tế. Hãy cùng khám phá!

Một số ví dụ về bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Để giải thích một cách đơn giản, chúng ta có thể hiểu bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bất phương trình mà có chứa ẩn trong giá trị tuyệt đối. Dưới đây là một số ví dụ để giúp bạn hiểu rõ hơn về điều này:

• |x| = 2 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• |3x - 4| = 7 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• |2x + 5| ≤ 10 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
• |x - 3| > 5 là bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Các cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

1. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách dùng định nghĩa

Để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta có thể dựa vào định nghĩa giá trị tuyệt đối. Các bước giải như sau:

• Bước 1: Giải bất phương trình trong trường hợp giá trị trong dấu tuyệt đối dương.
• Bước 2: Giải bất phương trình trong trường hợp giá trị trong dấu tuyệt đối âm.
• Bước 3: Kết hợp kết quả từ hai trường hợp trên và đưa ra kết luận.

Dưới đây là một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Giải bất phương trình |x - 2| = 3.

Bước 1: Với x - 2 > 0, ta có bất phương trình x - 2 = 3. Giải phương trình: x - 2 = 3. Ta được: x = 5.

Bước 2: Với x - 2 0, ta có bất phương trình -(x - 2) = 3. Giải phương trình: -x + 2 = 3. Ta được: x = -1.

Bước 3: Từ hai trường hợp trên, ta kết luận rằng nghiệm của bất phương trình là x = 5 và x = -1.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình |2x + 3| ≤ 4.

Bước 1: Với 2x + 3 > 0, ta có bất phương trình 2x + 3 ≤ 4. Giải phương trình: 2x + 3 ≤ 4. Ta được: x ≤ 1/2.

Bước 2: Với 2x + 3 0, ta có bất phương trình -(2x + 3) ≤ 4. Giải phương trình: -2x - 3 ≤ 4. Ta được: x ≥ -7/2.

Bước 3: Từ hai trường hợp trên, ta kết luận rằng nghiệm của bất phương trình là -7/2 ≤ x ≤ 1/2.

2. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách bình phương hai vế

Một cách khác để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là bình phương hai vế của bất phương trình. Các bước thực hiện như sau:

• Bước 1: Bình phương hai vế của bất phương trình.
• Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức cho cả hai vế.
• Bước 3: Giải bất phương trình đã bị bình phương.

Dưới đây là một số ví dụ để minh họa:

Ví dụ 3: Giải bất phương trình |x - 1| > 2.

Dựa vào công thức nêu trên, ta bình phương hai vế bất phương trình như sau: (x - 1)^2 > 2^2.

Áp dụng hằng đẳng thức cho cả hai vế bất phương trình: x^2 - 2x + 1 > 4.

Đến đây, ta giải bất phương trình như bình thường (chuyển vế và đổi dấu): x^2 - 2x - 3 > 0.

Nhờ máy tính để tìm nghiệm, ta được: x -1 hoặc x > 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là x -1 hoặc x > 3.

Ví dụ 4: Giải bất phương trình |3x - 2| ≤ 5.

Dựa vào công thức đã cho, ta bình phương hai vế bất phương trình như sau: (3x - 2)^2 ≤ 5^2.

Áp dụng hằng đẳng thức cho cả hai vế bất phương trình: 9x^2 - 12x + 4 ≤ 25.

Đến đây, ta giải như bất phương trình bình thường (chuyển vế và đổi dấu): 9x^2 - 12x - 21 ≤ 0.

Dùng máy tính để tìm nghiệm, ta được: -1 ≤ x ≤ 3.

Vậy nghiệm của bất phương trình là -1 ≤ x ≤ 3.

3. Giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bằng cách lập bảng xét dấu

Phương pháp cuối cùng để giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối là lập bảng xét dấu. Cách thực hiện như sau:

• Lập bảng xét dấu giữa các nhị thức bậc nhất, tam thức bậc hai hoặc giữa nhị thức bậc nhất và bậc hai.
• Dựa vào bảng xét dấu đã lập, xác định dấu của từng giá trị tuyệt đối.
• Từ bảng xét dấu đã có, chia ra thành các trường hợp và đưa ra kết luận.

Dưới đây là một số ví dụ để minh họa:

Ví dụ 5: Giải bất phương trình |2x - 3| > 5.

Ta có bảng xét dấu như sau:

x     |2x - 3|     2x - 3
----------------------------
x ≤ 3/2     |2x - 3| ≤ -(2x - 3)
x > 3/2     |2x - 3| ≥ 2x - 3

Bỏ dấu của từng giá trị tuyệt đối và đưa lên bảng xét dấu:

x     2x - 3
-----------------------
x ≤ 3/2     -(2x - 3)
x > 3/2     2x - 3

Từ bảng trên, ta chia ra thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Với x ≤ 3/2, ta được: x ≤ -1/2.

Trường hợp 2: Với x > 3/2, ta được: x > 4.

Vậy từ 2 trường hợp trên, ta có nghiệm của bất phương trình là x ≤ -1/2 hoặc x > 4.

Ví dụ 6: Giải bất phương trình |x + 2| 3.

Ta có bảng xét dấu như sau:

x     |x + 2|     x + 2
----------------------------
x ≤ -2     |x + 2| ≤ -(x + 2)
x > -2     |x + 2| ≥ x + 2

Bỏ dấu của từng giá trị tuyệt đối và đưa lên bảng xét dấu:

x     x + 2
-----------------------
x ≤ -2     -(x + 2)
x > -2     x + 2

Từ bảng trên, ta chia ra thành 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Với x ≤ -2, ta được: x -4.

Trường hợp 2: Với x > -2, ta được: x > 1.

Vậy từ 2 trường hợp trên, ta có nghiệm của bất phương trình là x -4 hoặc x > 1.

Hy vọng rằng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối một cách chi tiết và dễ hiểu.