Hãy cùng tìm hiểu về cách tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong bài viết này. Chúng ta sẽ đi qua các dạng bài tập điển hình và các phương pháp giải quyết để thu thập những kỹ năng cần thiết trong việc giải các bài toán liên quan đến cực trị hàm số.
1. Lý thuyết về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Để hiểu về giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, ta cần nắm vững định lý sau đây:
- Định lý: Cho hàm số y=f(x) được xác định trên tập hợp D.
- Số M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D khi và chỉ khi f(x) ≤ M với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D thoả mãn f(x₀) = M. Ký hiệu M = maxf(x).
- Số m gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D khi và chỉ khi f(x) ≥ m với mọi x ∈ D và tồn tại x₀ ∈ D thoả mãn f(x₀) = m. Ký hiệu m = minf(x).
Tổng quát, để tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.
3. So sánh và kết luận.2. 5 dạng bài tập điển hình tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số
Có rất nhiều dạng bài tập tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số, nhưng chúng ta có thể tổng quát hóa thành 5 dạng điển hình sau:
2.1. Dạng 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên đoạn
Các bước giải cho dạng này như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (nếu chưa có sẵn ở đề bài)
Bước 2: Tính f’(x), giải phương trình f’(x)=0 để tính giá trị cực trị
Bước 3: Tính giá trị f(x) và so sánh
Bước 4: Kết luậnVí dụ:
Ví dụ 1: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y=x^3-3x^2+1 trên đoạn [1;2]. Tính tổng M+m?
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định của hàm số y là D=ℝ
- Ta có: f(x)=x^3-3x^2+1 và f'(x)=3x^2-6x
- Tính f(1)=1-3+1=-1, f(2)=8-12+1=-3
- Giá trị lớn nhất của hàm số là M=1 và giá trị nhỏ nhất là m=-3
- Tổng M+m=-2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y=x+frac{4}{x} trên đoạn [0;π]
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định của hàm số: D=(0;+∞)
- Ta có: f(x)=x+frac{4}{x}
- Tính f(0) không tồn tại, f(π) không tồn tại
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số không tồn tại
2.2. Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trên khoảng
Cách giải của dạng này tương tự dạng trên, chỉ khác ở việc xét các giá trị trung gian của hàm số trên tập xác định. Đây là dạng bài toán mà cần chú ý để không mất điểm.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số y=-3x^2+3x+1 trên khoảng (1;+∞)
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định của hàm số y là D=(0;+∞)
- Ta có: f(x)=-3x^2+3x+1 và f'(x)=-6x+3
- Tính f(1)=-3+3+1=1
- Giá trị lớn nhất của hàm số là M=1 và không tồn tại giá trị nhỏ nhất
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 10 y=x+frac{4}{x} trên khoảng (0;+∞)
Hướng dẫn giải:
- Tập xác định của hàm số: D=(0;+∞)
- Ta có: f(x)=x+frac{4}{x}
- Tính f(0) không tồn tại, f(+∞) không tồn tại
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số không tồn tại
2.3. Dạng 3: Ứng dụng GTLN, GTNN vào giải toán thực tế
Dạng toán thực tế là những chủ đề lạ và khó, đòi hỏi sự linh hoạt trong phương pháp giải và phối hợp các hướng làm để đưa ra đáp án đúng. Các ví dụ dưới đây sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán thực tế liên quan đến giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Cho hình chữ nhật có chu vi không đổi là 8 m. Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật đó bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
- Gọi 2 cạnh của hình chữ nhật là a,b => a + b = 4
- Ta có: Diện tích hình chữ nhật là S = a.b = (frac{a+b}{2})^2 = 4
- Diện tích lớn nhất của hình chữ nhật là 4 m^2
Ví dụ 2: Cho một tấm nhôm hình vuông có cạnh dài 18cm. Thợ cơ khí cắt ở 4 góc của tấm nhôm đó lấy ra 4 hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh bằng x cm, sau đó gấp tấm nhôm lại để được một chiếc hộp không có nắp. Tìm x để chiếc hộp sau khi gấp lại có thể tích lớn nhất?
Hướng dẫn giải:
- Khối hộp có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng 18 - 2x, chiều cao của khối hộp là x.
- Tìm giá trị lớn nhất của thể tích hộp bằng cách chọn x giá trị nhỏ nhất.
- Kết quả tìm được là giá trị lớn nhất của thể tích hộp.
2.4. Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để GTLN của hàm số y = |f(x) + g(m)| trên đoạn [a; b] đạt GTNN
Các bước giải cho dạng này như sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số cho trước.
Bước 2: Tìm điều kiện tham số để giá trị lớn nhất đạt được cũng là giá trị nhỏ nhất.
Bước 3: Kết luận.Ví dụ:
Ví dụ 1: Biết rằng giá trị lớn nhất của hàm số y = |x^2 + 2x + m - 4| trên đoạn [-2;1] đạt giá trị nhỏ nhất, giá trị của tham số m bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
- Đặt f(x)=x^2+2x, ta có:
- f'(x)=2x+2
- f'(-2)=-2+2=0
- f(1)=1+2+1-4=0
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số đạt được khi m = 0
Ví dụ 2: Giá trị nhỏ nhất của hàm số lớp 10 y = |x^2-2x+5|+mx đạt giá trị lớn nhất bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
- Ta có min f (x, m) ≤ f (0, m) = 5, ∀ m ∈ ℝ
- Xét m = 2 ta có f (x,2) = |x^2 - 2x + 5| + 2x ≥ x^2 - 2x + 5 + 2x ≥ 5, ∀ x ∈ ℝ
- Dấu bằng xảy ra khi x = 0. Suy ra min f (x, 2) = 5, ∀ x ∈ ℝ
- Do đó ⇒ max (min f (x, m)) = 5, đạt được khi m = 2
2.5. Dạng 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác
Đối với dạng tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất có sự tham gia của hàm số lượng giác, chúng ta sẽ đặt ẩn phụ để giải quyết. Dưới đây là các ví dụ cụ thể để làm rõ hơn cách thực hiện dạng toán này.
Ví dụ:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y = sinx+cosx+sinx.cosx trên đoạn [0;π]
Hướng dẫn giải:
- Ta có: y = sinx+cosx+sinx.cosx
- Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y bằng cách tìm giá trị nhỏ nhất của ẩn phụ là cosx.sinx
- Với 0 ≤ x ≤ π, giá trị nhỏ nhất của cosx.sinx đạt được khi x = π/4
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số là y = 3/2
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau: y = |x^2-4x-7|
Hướng dẫn giải:
- Phương trình x^2 - 4x - 7 luôn có hai nghiệm trái dấu x1 0 x2
- Trường hợp 1: Nếu m ≥ 0
- Tính min f (x, m) ≤ f (x1, m) = mx1 ≤ 0, ∀ m ∈ ℝ
- Xét m = 0 ta có f (x, 0) = |x^2 - 4x - 7| ≥ 0, ∀ x ∈ ℝ
- Dấu bằng xảy ra tại x = x1, 2. Suy ra min f (x, m) = 0, ∀ x ∈ ℝ
- Do đó ⇒ max (min f (x, m)) = 0, đạt được khi m = 0
- Trường hợp 2: Nếu m 0
- Tính min f (x, m) ≤ f (x2, m) = mx2 0, ∀ m ∈ ℝ ⇒ max (min f (x, m)) 0
- So sánh cả hai trường hợp thì max (min f (x, m)) = 0 khi m = 0
Kết luận
Trên đây là toàn bộ lý thuyết và các dạng bài tập về tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số trong toán lớp 10. Hy vọng rằng qua bài viết này, bạn đã nắm vững các kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài toán liên quan.