Để giúp các bạn học sinh lớp 12 học tốt hơn môn Toán, chúng ta cần nắm vững kiến thức về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các khái niệm này và cách tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn xác định.
Các khái niệm về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
Để nắm rõ về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một tập xác định, chúng ta cần hiểu các khái niệm sau đây:
-
Giá trị lớn nhất của hàm số: Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên tập D nếu f(x) ≤ M với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = M. Kí hiệu: M = max{x ∈ D, f(x)}.
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số: Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) trên tập D nếu f(x) ≥ m với mọi x thuộc D và tồn tại x0 ∈ D sao cho f(x0) = m. Kí hiệu: m = min{x ∈ D, f(x)}.
Ta có thể thấy rằng:
- Giá trị lớn nhất của hàm số sẽ là giá trị mà hàm số không vượt quá trên tập xác định.
- Giá trị nhỏ nhất của hàm số sẽ là giá trị mà hàm số không nhỏ hơn trên tập xác định.
Quy tắc tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a, b]
Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn xác định [a, b], chúng ta có các bước sau:
Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số (nếu không được cho sẵn).
Bước 2: Tính f'(x) và giải phương trình f'(x) = 0 để tìm tất cả các điểm cực trị của hàm số.
Bước 3: Tính f(x) tại các điểm cực trị và tại hai đầu mút đoạn [a, b].
Bước 4: So sánh các giá trị f(x) đã tính được và kết luận.
Ví dụ: Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x^3 - 3x^2 + 1 trên đoạn [1, 2]. Khi đó, tổng M + m có giá trị bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải:
Bước 1: Tập xác định D = R.
Bước 2: Tính f'(x) = 3x^2 - 6x và giải phương trình f'(x) = 0. Ta có x = 0 và x = 2.
Bước 3: Tính f(x) tại các điểm cực trị và tại hai đầu mút đoạn [1, 2]. Ta có f(0) = 1, f(1) = -1 và f(2) = -3.
Bước 4: So sánh giá trị f(x) đã tính được. Ta có M = max{f(x)} = f(0) = 1 và m = min{f(x)} = f(2) = -3. Tổng M + m = 1 + (-3) = -2.
Vậy, chọn đáp án D: -2.
Tài liệu tham khảo
Để nắm vững kiến thức và rèn kỹ năng giải các bài tập về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số, các bạn học sinh có thể tham khảo các tài liệu sau đây:
-
Toán 10 Bài 3: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Link tài liệu
-
Giải bài tập trang 24 sách giáo khoa giải tích lớp 12: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
-
Giải bài tập sách bài tập Toán 12: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.
-
Trắc nghiệm giá trị lớn nhất nhỏ nhất của hàm số (Có đáp án).
Để đạt kết quả cao trong học tập, chúng ta cần rèn luyện nâng cao kỹ năng giải bài tập và ôn tập kiến thức. Vì vậy, chúng ta cần tham khảo thêm các tài liệu giảng dạy như giải bài tập Toán lớp 12, thi THPT Quốc gia môn Toán, Văn, Lịch sử và sách bài tập Toán 12 để nắm vững và hiểu rõ hơn về kiến thức này.