Đúng như tiêu đề, chúng ta sẽ tìm hiểu về cách tính đạo hàm của hàm số lượng giác với phương pháp giải chi tiết. Bài viết này sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập và nắm vững cách làm bài tập Tính đạo hàm của hàm số lượng giác.
Tính đạo hàm của hàm số lượng giác
A. Phương pháp giải
Chúng ta áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số:
Trong đó hàm số y = f(x) có đạo hàm tại các điểm mà hàm số xác định.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(2x + 8)?
A. 2cos(2x + 8) \
B. cos(2x + 8) \
C. -cos(2x + 8) \
D. -2cos(2x + 8)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
y' = cos(2x + 8).(2x + 8)' = 2cos(2x + 8)
Vậy đáp án là A.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số: y = cos(x^2 + 7x - 9)?
A. -sin(x^2 + 7x - 9) \
B. -sin(x^2 + 7x - 9).(x^2 + 7x - 9) \
C. -(2x + 7).sin(x^2 + 7x - 9) \
D. sin(x^2 + 7x - 9).(2x + 7)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp ta có:
y' = -sin(x^2 + 7x - 9).(x^2 + 7x - 9)' = -sin(x^2 + 7x - 9).(2x + 7)
Vậy đáp án là C.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin(8x) + cos(2x)
A. cos8x - sin2x \
B. 8cos8x - 2sin2x \
C. 8.cos8x + 2sin2x \
D. -cos8x + sin2x
Hướng dẫn giải:
Ta có:
y' = (sin8x)' + (cos2x)' = 8cos8x - 2sin2x
Vậy đáp án là B.
Ví dụ 4: Tính đạo hàm của hàm số: y = 2sin(√(x^2 + 4x) - 1)
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 5: Tính đạo hàm của hàm số: y = tan(4x + 1) - cot(2x)
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 6: Tính đạo hàm của hàm số: y = tan(√(x^2 + 2x))
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 7: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin(x^2 - 3x) - tan(x^2 - 1)
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 8: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin^4(6x - 2)
A. 4sin^3(6x - 2) \
B. 4sin^3(6x - 2).cos(6x - 2) \
C. 24sin^3(6x - 2).cos(6x - 2) \
D. -24sin^3(6x - 2).cos(6x - 2)
Hướng dẫn giải:
Ta có: y' = 4sin^3(6x - 2).[sin(6x - 2)]' \
⇔ y' = 4sin^3(6x - 2).cos(6x - 2).(6x - 2)' \
⇔ y' = 24sin^3(6x - 2).cos(6x - 2)
Vậy đáp án là C.
Ví dụ 9: Tính đạo hàm của hàm số: y = xsin(x + 1)
A. sin(x + 1) + x.cos(x + 1) \
B. cos(x + 1) - x.sin(x + 1) \
C. -sin(x + 1) + x.cos(x + 1) \
D. sin(x + 1) - x.cos(x + 1)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích ta có:
y' = (x').sin(x + 1) + x.[sin(x + 1)]' \
⇔ y' = 1.sin(x + 1) + x.cos(x + 1).(x + 1)' \
⇔ y' = sin(x + 1) + x.cos(x + 1)
Vậy đáp án là A.
Ví dụ 10: Tính đạo hàm của hàm số: y = (1 + tanx)^4
Hướng dẫn giải:
Ví dụ 11: Tính đạo hàm của hàm số: y = √(sin^4x)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
Ví dụ 12: Tính đạo hàm của hàm số: y = √(cos(x^3 - x^2 + 2))
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
Ví dụ 13: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin(tanx)
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của hàm số lượng giác, ta có:
Ví dụ 14: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin^2x.cosx
A. 2cos^2x - sin^2x.cosx \
B. -sinx.cos^2x + sin^3x \
C. 2sinx.cos^2x + sin^3x \
D. 2sinx.cos^2x - sin^3x
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác và đạo hàm của một tích, ta có:
y' = (sin^2x)'.cosx + sin^2x.(cosx)' \
⇔ y' = 2sinx.(sinx)'.cosx + sin^2x.(-sinx) \
⇔ y' = 2sinx.cosx.cosx - sin^3x = 2sinx.cos^2x - sin^3x
Vậy đáp án là D.
Ví dụ 15: Tính đạo hàm của hàm số: y = x/cosx
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một thương, ta có:
Ví dụ 16: Tính đạo hàm của hàm số: y = (x^2 + 2x).cosx
A. (2x + 2).cosx + (x^2 + 2x).sinx \
B. (2x + 2).cosx - (x^2 + 2x) \
C. (2x + 2).cosx - (x^2 + 2x).sinx \
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích, ta có:
y' = (x^2 + 2x)'.cosx + (x^2 + 2x).(cosx)' \
⇔ y' = (2x + 2).cosx - (x^2 + 2x).sinx
Vậy đáp án là C.
Ví dụ 17: Tính đạo hàm của hàm số: y = (1 - cos2x)(2 - sin3x)
A. y' = -2sin2x.(2 - sin3x) + 3cos3x.(1 - cos2x) \
B. y' = 2sin2x.(2 - sin3x) - 3cos3x.(1 - cos2x) \
C. y' = 2sin2x.(2 - sin3x) + 3cos3x.(1 - cos2x) \
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích, ta có:
y' = (1 - cos2x).(2 - sin3x)' + (1 - cos2x)'(2 - sin3x) \
⇔ y' = -2sin2x.(2 - sin3x) + 3cos3x.(1 - cos2x)
Vậy đáp án là A.
Ví dụ 18: Tính đạo hàm của hàm số: y = √(cos3(2x + 2))
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = (cos3(2x + 2))'.(2x + 2)' \
⇔ y' = -3sin(2x + 2).2 \
⇔ y' = -6sin(2x + 2)
Ví dụ 19: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin(tanx) + x - 10
Hướng dẫn giải:
y' = (sin(tanx))' + (x - 10)' \
⇔ y' = cos(tanx).(tanx)' + 1 \
⇔ y' = cos(tanx).(1/cos^2x) + 1 \
⇔ y' = cos(tanx)/cos^2x + 1
Ví dụ 20: Tính đạo hàm của hàm số: y = sin(x + 1)/(x - 2)
Hướng dẫn giải:
y' = ((sin(x + 1))/(x - 2))' \
⇔ y' = ((sin(x + 1)).(x - 2)' - (x - 2).(sin(x + 1))')/(x - 2)^2 \
⇔ y' = ((sin(x + 1)).1 - (x - 2).cos(x + 1))/(x - 2)^2
Ví dụ 21: Tính đạo hàm của hàm số sau:
y = (2x + cosx).(cos2x - sin3x)
A. (2 - sinx).(cos2x - sin3x) + (2x + cosx).(2sin2x - 3cos3x) \
B. (2 + sinx).(cos2x - sin3x) + (2x + cosx).(-2sin2x - 3cos3x) \
C. (2 - sinx).(cos2x - sin3x) + (2x + cosx).(-2sin2x - 3cos3x) \
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích, ta có:
y' = (2x + cosx).(cos2x - sin3x)' + (2x + cosx)'(cos2x - sin3x) \
⇔ y' = (2x + cosx).(2sin2x - 3cos3x) + (2).(cos2x - sin3x) \
⇔ y' = (2 - sinx).(cos2x - sin3x) + (2x + cosx).(-2sin2x - 3cos3x)
Vậy đáp án là A.
Ví dụ 22: Tính đạo hàm của hàm số:
y = √(2x^3 + x^2 - 1).sinx
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích, ta có:
y' = (√(2x^3 + x^2 - 1))'.sinx + √(2x^3 + x^2 - 1).(sinx)' \
⇔ y' = (2x^3 + x^2 - 1)'.sinx + √(2x^3 + x^2 - 1).cosx \
⇔ y' = (6x^2 + 2x).sinx + √(2x^3 + x^2 - 1).cosx
Ví dụ 23: Tính đạo hàm của hàm số:
y = (x + 1).cos^2x
A. (cos^2x - (x + 1).2sinx.cosx) \
B. (cos^2x - (x + 1).sin2x) \
C. (cos^2x - (x + 1).sin2x.cosx) \
D. Đáp án khác
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của một tích, ta có:
y' = (x + 1).cos^2x' + (x + 1)'cos^2x \
⇔ y' = (x + 1).(-sinx).cosx + 1.cos^2x \
⇔ y' = -x.sinx.cosx - (x + 1).sinx.cosx + cos^2x \
⇔ y' = cos^2x - (x + 1).2sinx.cosx
Vậy đáp án là A.
Ví dụ 24: Tính đạo hàm của hàm số:
y = sin^2(√(x^2 + 1))
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức đạo hàm của hàm hợp, ta có:
y' = (sin^2(√(x^2 + 1)))'.(√(x^2 + 1))' \
⇔ y' = (sin^2(√(x^2 + 1))).(x^2 + 1)'/(√(x^2 + 1)) \
⇔ y' = (sin^2(√(x^2 + 1))).(2x)/(√(x^2 + 1))
