Khái niệm về công thức tính khoảng cách
Trong khoa học, công thức không chỉ đơn thuần là cách trình bày thông tin dưới dạng biểu tượng. Công thức còn phải đáp ứng yêu cầu về tính chính xác và tính tổng quát. Công thức tính khoảng cách là tổ hợp của các phương pháp được sử dụng để tính khoảng cách từ một vị trí đến một vị trí khác. Trong toán học phổ thông, công thức tính khoảng cách được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng hay giữa một điểm và một đường thẳng (trong hình học phẳng), giữa một điểm và một mặt phẳng, giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, hoặc giữa hai đường thẳng chéo nhau (trong hình học không gian).
Các công thức tính khoảng cách thường được sử dụng
Để giúp các em học sinh ghi nhớ dễ dàng, VUIHOC sẽ sắp xếp các công thức tính khoảng cách từ đơn giản đến phức tạp (từ hình học phẳng đến hình học không gian). Điều này giúp các em học sinh ghi nhớ công thức một cách dễ dàng và sử dụng chúng trong quá trình làm bài tập.
1. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
Khoảng cách giữa hai điểm chính là độ dài của đoạn thẳng nối hai điểm đó. Cần lưu ý rằng khoảng cách của hai điểm bất kỳ không phải là độ dài đường thẳng hoặc độ dài của bất kỳ đoạn thẳng vuông góc nào khác. Công thức tính khoảng cách giữa hai điểm có dạng: AB = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2)
2. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và điểm M có tọa độ (x0, y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng d được tính bằng công thức: d(M, d) = |ax0 + by0 + c| / sqrt(a^2 + b^2)
3. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm A đến mặt phẳng (P) được định nghĩa như khoảng cách từ điểm A đến hình chiếu vuông góc của nó trên (P). Khoảng cách này có thể được tính theo hai cách:
- Cách 1: Tìm hình chiếu của A trên mặt phẳng (P) và tính khoảng cách giữa hai điểm.
- Cách 2: Sử dụng công thức sau (phương pháp nhanh và đơn giản hơn): d(A, (P)) = |aα + bβ + cγ + d| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
4. Công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng chéo nhau hoặc song song
Trong hình học không gian, chúng ta đã được học về 4 mối quan hệ giữa hai đường thẳng: trùng nhau, song song, chéo nhau và cắt nhau. Khoảng cách của hai đường thẳng song song hoặc chéo nhau có thể tính bằng cách tính khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên một đường thẳng này đến đường thẳng kia. Công thức tính khoảng cách của hai đường thẳng có dạng: d(Δ1; Δ2) = |vec(M1M2)wedge vec(u)| / |vec(u)| Trong đó:
- M1 và M2 là hai điểm bất kỳ trên đường thẳng Δ1 và Δ2.
- vec(u) là vector chỉ phương bất kỳ của một trong hai đường thẳng Δ1 và Δ2, có dạng vec(u) = (a; b; c).
5. Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng
Công thức tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng được sử dụng để tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song với nhau. Khi đã biết phương trình của hai mặt phẳng, ta có thể tính khoảng cách giữa chúng bằng công thức sau: d((P); (Q)) = |d - d'| / sqrt(a^2 + b^2 + c^2) Trong đó:
- (P): ax + by + cz + d = 0
- (Q): ax + by + cz + d' = 0
Một số bài tập luyện tập về tính khoảng cách
Bài 1: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai mặt phẳng có phương trình lần lượt là (α): x - 2y + z + 1 = 0 và (β): x - 2y + z + 3 = 0. Hãy tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng. Bài 2: Cho hai mặt phẳng (α) và (β) song song với nhau, có khoảng cách là 3. Phương trình của mặt phẳng (α) là 2x - 5y - 3z + 1 = 0. Hãy xác định phương trình của mặt phẳng (β). Bài 3: Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A và B có tọa độ lần lượt là A(3, 5) và B(2, 7). Hãy tính khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Với bài viết trên, VUIHOC hy vọng rằng các em học sinh có thể nắm vững các công thức và bản chất về tính khoảng cách trong không gian tọa độ, từ đó dễ dàng áp dụng vào việc giải các dạng bài tập và ôn thi môn Toán THPT quốc gia. Các em có thể tham khảo thêm kiến thức từ bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC trên vuihoc.vn. Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi sắp tới!