Câu 1
Chứng minh A, B, C tạo thành một tam giác
Cho ba điểm A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;0) trong không gian với hệ tọa độ oxyz.
Giải:
a, Ta có: oa=[AB]= (-1; 0; 1) ; [AC]= (1; 1; 0)
Suy ra: oa⊕oc = (2;1;0)
Vậy A, B, C không thẳng hàng => ABC tạo thành một tam giác.
b, Diện tích tam giác ABC là:
S(ABC)=1/2| [AB] ⊕ [AC] |=1/2.√((-1)^{2}+1^{2}+(-1)^{2})=√3/2
Vậy A, B, C tạo thành một tam giác có diện tích là √3/2.
Câu 2
Tìm tọa độ của điểm M trên mặt phẳng (Oxy) sao cho |MA +MB + MC| có giá trị nhỏ nhất?
Cho 3 điểm A(2;-3;7), B(0;4;-3) và C(4;2;5) trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz.
Giải:
Theo bài ra ta có:
|MA +MB + MC| = |MG +GA +MG +GB +MG +GC|
Đầu tiên ta xác định tọa độ điểm G sao cho: GA +GB +GC = 0
hay nói cách khác G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
G = ( (0+2+4)/3 ; (-3+4+2)/3 ; (7-3+5)/3 ) => Tọa độ điểm G (2; 1; 3)
Từ đó: |MA +MB + MC| = |3MG|
|MA +MB + MC| nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M nằm trên mặt phẳng (Oxy) nên M là hình chiếu của G lên (Oxy)
=> M(2;1;0)
Vậy tọa độ điểm M(2;1;0) thì |MA +MB + MC| có giá trị nhỏ nhất.
Câu 3:
Trong các điểm (1;1;-1), (1;1;1) , (1;2;-1) , (1;0;-1), điểm nào là điểm M trên (P) thỏa mãn |MA^2+MB^2+MC^2| đạt giá trị nhỏ nhất?
Cho ba điểm A(1;0;1), B(1;2;1), C(4;1;-2) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, và mặt phẳng P : x + y + z = 0.
Giải:
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Ta có:
G=( (1+1+4)/3 ; (0+2+1)/3 ; (1+1-2)/3 ) => G(2;1;0)
T = |MA^2+MB^2+MC^2|
T = |(MG+GA)^2+(MG+GB)^2+(MG+GC)^2|
T = |3MG^2+GA^2+GB^2+GC^2|
Do GA^2+GB^2+GC^2 cố định nên T_min khi MG_min.
=> Mà M thuộc (P) nên M là hình chiếu vuông góc của G lên (P)
=> M(1;0;-1)
Vậy tọa độ điểm M(1;0;-1) thì |MA^2+MB^2+MC^2| có giá trị nhỏ nhất.
Câu 4
Tìm điểm D sao cho ABCD là hình thang có đáy AD và S(ABCD)=3S(Delta ABC)
Cho ba điểm A(-2;3;1), B(2;1;0) và C(-3;-1;1) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz.
Giải:
Vì tứ giác ABCD là hình thang
=> AD//BC => u_AD = u_BC = (-5; -2; 1)
=> Phương trình đường thẳng AD là :
x = (-5t - 2) y = (-2t + 3) z = (t + 1)
=> D(-5t - 2; -2t + 3; t + 1)
Ta có:
S_ABCD = 3S_ABC ⇔ S_ACD = 2S_ABC
Mà diện tích tam giác ABC là:
S_ABC = 1/2|[AB] ⊕ [AC]| = sqrt(341)/2 => S_ACD = sqrt(341)
Hay nói cách khác:
S_ACD = 1/2| [AD];[AC] | = sqrt(341)
=> 1/2sqrt(341t^2) = sqrt(341)
=> t = -1 => D(-12; -1; 3)
Câu 5
Trong các điểm (-2;0;1), (4/3;3;3/2), (1/2;2;1), (-1;2;1), điểm nào là tọa độ điểm N sao cho S = 2NA^2+NB^2 + NC^2 đạt giá trị nhỏ nhất.
Cho ba điểm A(1;1;1), B(0;1;2), C(-2;1;4) trong không gian với hệ tọa độ Oxyz và mặt phẳng (P): x-y+z+2=0.
Giải:
Gọi M(a; b; c) thỏa mãn đẳng thức vectơ 2MA +MB + MC = 0
⇔ 2(1-a;1-b;1-c) + (0-a; 1-b; 2-c) + (-2-a; 1-b; 4-c) = 0
⇔ (-4a;4-4b;8-4c) = 0
Khi đó: S = 2NA^2+NB^2+NC^2 = 2|NA|^2+|NB|^2+|NC|^2
= 2|(MN+MA)|^2 + |(MN+MB)|^2 + |(MN+MC)|^2 = 4MN^2 + 2NM(2MA +MB + MC) + 2MA^2+MB^2 + MC^2
= 4MN^2+2MA^2+MB^2+MC^2 (do 2MA +MB + MC=0)
Vì 2MA^2+MB^2+MC^2 = const suy ra S_min ⇔ MN_min
⇔ N là hình chiếu của M trên (P) => MN ⊥ (P)
Phương trình đường thẳng MN là:
z = 2x -1
mà N thuộc (P) suy ra: N(-1;2;1)