Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng: a.sinx + b.cosx = c, trong đó a, b và c là các hằng số. Để xác định điều kiện để phương trình này có nghiệm, ta cần tìm các giá trị của a, b và c thỏa mãn điều kiện a^2 + b^2 ≥ c^2.
A. Phương pháp giải
Phương pháp giải phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có 2 cách chính.
- Cách 1: Sử dụng bổ đề Pytago để biến đổi phương trình và giải bằng cách đặt sinx và cosx thành các tỉ số trong tam giác vuông.
- Cách 2: Sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Xcopski: a^2 + b^2 ≥ c^2.
Chú ý: Cách 2 thường dùng để giải và biện luận phương trình.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1.
Cho phương trình a.sinx + b.cosx = c. Điều kiện để phương trình trên có nghiệm là: A. a^2 + b^2 > c^2 B. a^2 + b^2 < c^2 C. a^2 + b^2 ≥ c^2 D. a^2 + b^2 ≤ c^2
Lời giải: Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Xcopski để giải bài tập này. Điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là a^2 + b^2 ≥ c^2. Vậy đáp án đúng là C.
Ví dụ 2. Tìm phương trình không phải là phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. A. sinx + cosx = 0 B. -10sinx = 0 C. 8 - cosx = 0 D. 2sin2x + cosx = 1
Lời giải: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx có dạng a.sinx + b.cosx = c. Trong các phương trình đã cho, các phương trình A, B, C đã có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Phương trình D mới không có dạng phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx. Vậy đáp án đúng là D.
Ví dụ 3. Cho các phương trình sau: (I). 10sinx - cosx = 2 (II). -3sinx = 2 (III). 2sinx - 6cosx = 8 (IV). 2cosx = 3
Hỏi có bao nhiêu phương trình có nghiệm? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
Lời giải: Các phương trình trên là các phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx và có dạng a.sinx + b.cosx = c. Để phương trình có nghiệm, điều kiện là a^2 + b^2 ≥ c^2. Vậy trong các phương trình trên, có 3 phương trình (I), (II) và (III) có nghiệm. Vậy đáp án đúng là C.
C. Bài tập vận dụng
Bài 1:
Tìm m để phương trình 2sinx + mcosx = 1 - m có nghiệm x thuộc [-π/2, π/2].
Bài 2:
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sinx + (m - 1)cosx = 2m - 1 có nghiệm.
Bài 3:
Giải các phương trình sau: a) 3sinx + 4cosx = 5 b) 2sin2x - 2cos2x = 2
Bài 4:
Giải các phương trình sau: a) sin8x - sin7x = 3cos8x - 3cos7x b) 2cos2x - cosx + 3sinx = 0 c) sin22x + sin4x - 2cos22x = 12
Bài 5:
Tìm điều kiện tham số m để phương trình sinx + cosx = m - 1 thỏa mãn: a) Có nghiệm b) Vô nghiệm
