Giới thiệu
Trong toán học, tam giác là một khái niệm cơ bản và quan trọng. Lý thuyết các hệ thức lượng trong tam giác và giải tam giác đã được nghiên cứu sâu và áp dụng rộng rãi. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các hệ thức lượng trong tam giác và cách giải các bài toán liên quan.
Hệ thức lượng trong tam giác vuông
Nhắc lại hệ thức lượng trong tam giác vuông, cho tam giác (ABC) vuông góc tại đỉnh (A) ((\widehat{A} = 90^{\circ})), ta có:
- (b^2 = ab'; c^2 = a \cdot c')
- Định lý Pitago: (a^2 = b^2 + c^2)
- (a \cdot h = b \cdot c)
- (h^2 = b' \cdot c')
- (\dfrac{1}{h^2} = \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2})
Định lý cosin
Định lý cosin là một trong những hệ thức quan trọng trong tam giác. Trong một tam giác bất kỳ, bình phương một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh còn lại trừ đi hai lần tích của hai cạnh đó nhân với cosin của góc xen giữa chúng.
Ta có các hệ thức sau:
[ \begin{align} a^2 &= b^2 + c^2 - 2bc \cdot \cos(A) \quad (1) \ b^2 &= a^2 + c^2 - 2ac \cdot \cos(B) \quad (2) \ c^2 &= a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \quad (3) \end{align} ]
Hệ quả của định lý cosin:
[ \begin{align} \cos(A) &= \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \ \cos(B) &= \dfrac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \ \cos(C) &= \dfrac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \end{align} ]
Áp dụng: Tính độ dài đường trung tuyến của tam giác
Cho tam giác (ABC) có các cạnh (BC = a, CA = b) và (AB = c). Gọi (m_a, m_b) và (m_c) là độ dài các đường trung tuyến lần lượt vẽ từ các đỉnh (A, B, C) của tam giác. Ta có:
((m_a)^2 = \dfrac{2(b^2 + c^2) - a^2}{4})
((m_b)^2 = \dfrac{2(a^2 + c^2) - b^2}{4})
((m_c)^2 = \dfrac{2(a^2 + b^2) - c^2}{4})
Định lý sin
Định lý sin cung cấp quy tắc tính tỉ lệ giữa một cạnh và sin của góc đối diện với cạnh đó. Tỉ lệ này bằng đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác.
(\dfrac{a}{\sin(A)} = \dfrac{b}{\sin(B)} = \dfrac{c}{\sin(C)} = 2R)
Trong đó, (R) là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Công thức tính diện tích tam giác
Diện tích tam giác (ABC) có thể được tính bằng một trong các công thức sau:
- (S = \dfrac{1}{2} \cdot ab \cdot \sin(C) = \dfrac{1}{2} \cdot bc \cdot \sin(A) = \dfrac{1}{2} \cdot ca \cdot \sin(B)) (Công thức 1)
- (S = \dfrac{abc}{4R}) (Công thức 2)
- (S = pr) (Công thức 3)
- (S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}) (Công thức 4)
Trong đó, (a, b, c) là độ dài các cạnh tam giác; (R, r) lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và đường tròn nội tiếp tam giác; (S) là diện tích tam giác đó.
Giải tam giác và ứng dụng vào việc đo đạc
Giải tam giác là quá trình tìm các yếu tố (góc, cạnh) chưa biết của tam giác khi đã biết một số yếu tố của tam giác đó. Để giải tam giác, chúng ta cần áp dụng các hệ thức đã được nêu trong định lý cosin, định lý sin và các công thức tính diện tích tam giác.
Các bài toán về giải tam giác thường gặp gồm:
a) Giải tam giác khi biết một cạnh và hai góc.
=> Dùng định lý sin để tính cạnh còn lại.
b) Giải tam giác khi biết hai cạnh và góc xen giữa.
=> Dùng định lý cosin để tính cạnh thứ ba. Sau đó, dùng hệ quả của định lý cosin để tính góc.
c) Giải tam giác khi biết ba cạnh.
=> Sử dụng hệ quả của định lý cosin để tính góc.
Chú ý:
- Một tam giác có thể được giải khi ta biết 3 yếu tố của nó, trong đó phải có ít nhất một yếu tố độ dài (tức là yếu tố góc không được quá 2).
- Việc giải tam giác được áp dụng trong các bài toán thực tế, đặc biệt là các bài toán đo đạc.