Bài viết này sẽ giúp bạn ôn tập và biết cách làm bài tập Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước. Chúng ta sẽ đi vào chi tiết phương pháp giải và cung cấp các ví dụ minh họa.
Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước (cực hay)
Trước tiên, chúng ta cần hiểu cách thực hiện các phép biến đổi cơ bản trên tập hợp số phức. Chúng ta sẽ sử dụng phép cộng và phép trừ số phức để giải bài tập.
Phương pháp giải
Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di, ta có:
- Phép cộng số phức: z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i
- Phép trừ số phức: z1 - z2 = (a - c) + (b - d)i
- Hai số phức z1 và z2 bằng nhau khi và chỉ khi a = c và b = d
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Các số thực x, y thỏa mãn: 3x + y + 5xi = 2y - 1 + (x - y)i là gì?
Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Lời giải:
Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Chọn đáp án A.
Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn: 3z + 2 = (4 - i)2. Mô đun của số phức z là gì?
Lời giải:
Gọi z = a + bi
5a + bi = 15 - 8i
Vậy z = 3 - 8i
Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Chọn đáp án D.
Ví dụ 3: Tìm số phức z, biết z - (2 + 3i) = 1 - 9i.
Lời giải: Gọi z = a + bi ta có: Vậy z = 2 - i Chọn đáp án D.
Tiếp tục theo dõi phần Bài tập vận dụng để thực hành thêm.
Bài tập vận dụng
Câu 1: Các số thực x, y thỏa mãn: (2x + 3y + 1) + (-x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i là gì?
Lời giải:
Đáp án: B
Giải thích:
(2x + 3y + 1) + (-x + 2y)i = (3x - 2y + 2) + (4x - y - 3)i
Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Câu 2: Số phức z thỏa mãn: z - (2 + 3i) = 1 - 9i là gì?
Lời giải: Đáp án: D Giải thích: Gọi z = a + bi với a,b ∈ R ; i² = -1 => = a - bi z - (2 + 3i) = 1 - 9i Hay a + bi - (2a - 2bi + 3ai + 3b) = 1 - 9i <=> -a - 3b + (-3 + 3b)i = 1 - 9i
Câu 3: Tìm số phức z thỏa mãn hệ thức 
.
Lời giải:
Đáp án: A
Giải thích:
Gọi z = x + yi (x,y ∈ R), ta có 
Vậy có 2 số phức thỏa yêu cầu bài toán.
Câu 4: Tìm số thực x, y để hai số phức z1 = 9y^2 - 4 - 10xi^5 và z2 = 82 + 20i^11 là liên hợp của nhau?
Lời giải:
Đáp án: D
Giải thích:
Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn (2z - 1)(1 + i) + (i + 1)(1 - i) = 2 - 2i. Giá trị của |z| là gì?
Lời giải: Đáp án: A Giải thích: Gọi z = a + bi ta có : (2z - 1)(1 + i) + (i + 1)(1 - i) = 2 - 2i <=> [(2a - 1) + 2bi](1 + i) + [(a + 1) - bi](1- i) = 2 - 2i <=> (2a - 2b - 1) + (2a + 2b -1) = (a - b + 1) - (a + b + 1)i = 2 -2i
Câu 6: Cho số phức z thỏa 
. Viết z dưới dạng z = a + bi. Khi đó tổng a + b có giá trị bằng bao nhiêu?
Lời giải:
Đáp án: C
Giải thích:
Toán lớp 12 | Lý thuyết - Bài tập Toán 12 có đáp án
Câu 7: Có bao nhiêu số phức z thỏa 
?
Lời giải:
Đáp án: A
Giải thích:
Đặt z = x + yi (x,y ∈ R), ta có .
Vậy có 2 số phức thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 9: Tìm số phức z để z - 
= z^2.
Lời giải:
Đáp án: C
Giải thích:
Gọi z = a + bi là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có:
Câu 10: Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z^3 = 18 + 26i.
Lời giải:
Đáp án: C
Giải thích:
z^3 = 18 + 26i <=> (x + yi)^3 = 18 + 26i <=> x^3 + 3x^2 - 3xy^2 - y^3i = 18 + 26i
<=> (x^3 - 3xy^2) + (3x^2 - y^3)i = 18 + 26i
Do x, y nguyên nên x = 3; y = 1
Câu 11: Cho số phức z = a + bi thỏa . Tính P = a + bi.
Lời giải: Đáp án: C Giải thích: Đặt z = a + bi. Theo giải thiết ta có: [(a + 1) + (b + 1)i](a - bi - i) + 3i = 9
Do |z| > 2 => a = -1; b = 2 => a + b = 1
