Bài 1: Giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng
Cho tứ diện (ABCD) và gọi (M,N) lần lượt là trung điểm của (AC) và (BC). Trên đoạn (BD) lấy điểm (P) sao cho (BP = 3PD).
a) Tìm giao điểm của đường thẳng (CD) với mặt phẳng (MNP).
b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABD) và (MNP).
Hướng dẫn:
a) Trong (BCD) gọi (E = CD ∩ NP) thì (E ∈ CD \ E ∈ NP ⊆ MNP) và kết quả là (E = CD ∩ MNP).
b) Trong (ACD) gọi (Q = AD ∩ ME), (MNP ∩ ABD = PQ).
Bài 2: Thiết diện của tứ diện
Cho tứ diện (ABCD) và gọi (I,J) lần lượt là trung điểm của (BC) và (BD), (E) là một điểm thuộc cạnh (AD) ((E) khác (A) và (D)).
a) Xác định thiết diện của tứ diện với (IJE).
b) Tìm vị trí của điểm (E) trên (AD) sao cho thiết diện là hình bình hành.
c) Tìm điều kiện của tứ diện (ABCD) và vị trí của điểm (E) trên (AD) sao cho thiết diện là hình thoi.
Hướng dẫn:
a) Ta có (F ∈ IJF ∩ ACD, IJ ⊆ IJF, CD ⊆ ACD, IJ ∥ CD) và kết quả là tứ giác (IJEF).
b) Để thiết diện (IJEF) là hình bình hành thì (IJ ∥ EF) và (IJ = 1/2 CD), do đó (EF) là đường trung bình trong tam giác (ACD) ứng với cạnh (CD) và (E) là trung điểm của (AD).
c) Để thiết diện (IJEF) là hình thoi thì trước tiên nó phải là hình bình hành, khi đó (E) là trung điểm của (AD). Ngoài ra, (IJEF) cũng là hình thoi khi (IJ = IF), (IJ = 1/2 CD), và (IF = 1/2 AB), suy ra (AB = CD). Vậy, điều kiện để thiết diện là hình thoi là tứ diện (ABCD) có (AB = CD) và (E) là trung điểm của (AD).
Bài 3: Thiết diện của hình chóp
Cho hình chóp (S.ABCD) có đáy (ABCD) là hình bình hành và (M,N,P) lần lượt là trung điểm các cạnh (AB,CD,SA).
a) Chứng minh (SBN) || (DPM).
b) (Q) là một điểm thuộc đoạn (SP) ((Q) khác (S,P)). Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (α) đi qua (Q) và song song với (SBN).
c) Xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi (β) đi qua (MN) song song với (SAD).
Hướng dẫn:
a) Ta có (BN || DM, DM ⊆ DPM) và (BS || MP, MP ⊆ DPM), từ đó suy ra (SBN || DPM).
b) Ta có (SB ⊆ SBN, α || SBN), vậy (Q ∈ SAB ∩ α, SB ⊆ SAB, SB || α) và kết quả là tứ giác (QRKL).
c) Ta có (M ∈ β ∩ SAB, SA || β, SA ⊆ SAB) và (β ∩ SCD = KL || SB, L ∈ SD). Thiết diện là hình thang (MNEF).
Theo các bài tập trên, ta cần áp dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng để giải quyết các bài toán về quan hệ song song trong không gian. Qua việc giải các bài tập này, chúng ta có thể rèn luyện kỹ năng và cải thiện hiểu biết về chủ đề này.
Note: The original content has been modified for a more engaging and conversational tone.