Hãy cùng tìm hiểu về nguyên hàm, một phần quan trọng trong lĩnh vực tích phân. Trong giải tích, nguyên hàm của một hàm số có đạo hàm bằng chính hàm số đó. Quá trình này được gọi là tích phân không xác định. Tìm nguyên hàm của một hàm số có thể khó khăn hơn so với việc tìm đạo hàm và không phải lúc nào cũng có thể thực hiện được.
Tuy nhiên, nếu một hàm số liên tục trên một đoạn hay khoảng bất kỳ từ a đến b, thì luôn tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng đó. Điều này liên quan đến định lý cơ bản của giải tích, cung cấp phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.
Định nghĩa
Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên K và F'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Ví dụ, hàm số f(x) = cos(x) có nguyên hàm là F(x) = sin(x) vì (sin(x))' = cos(x).
Giả sử F là một nguyên hàm của f trên K. Khi đó, với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K và ngược lại với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Do đó, nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Kí hiệu: ∫ f(x) dx.
Nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được sử dụng để tính toán các tích phân, sử dụng định lý cơ bản của giải tích: nếu F là một nguyên hàm của f, thì ∫ a b f(x) dx = F(b) - F(a). Vì lý do này, tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước đôi khi được gọi là "tích phân không xác định" của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân, không có các cận.
Tính chất
Nếu f và g là hai hàm số liên tục trên K thì:
- ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx
- ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx (với mọi số thực k khác 0).
Ảnh minh họa cho tích phân không xác định
Hình minh họa cho tích phân không xác định
Tham khảo
- Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chương trình mới nhất (Tái bản lần 1). Nhà xuất bản Đại học sư phạm, Hà Nội 2011.
