Khám phá thế giới Hình học với những bài tập thú vị
Bài tập 1: Khám phá thể tích khối tròn xoay
Cho tam giác ABC vuông tại A có AC=3a, AB=4a. Bạn hãy tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi tam giác này quay quanh đường thẳng BC.
Lời giải:
Đầu tiên, ta kẻ đường cao AH của tam giác ABC. Khi tam giác ABC quay quanh đường thẳng BC, ta thu được hai khối nón chung đáy có bán kính đáy là R = AH và chiều cao lần lượt là HB và HC.
Theo công thức (1/AH^2 = 1/AB^2 + 1/AC^2 = 1/(16a^2) + 1/(9a^2) = 25/(144a^2)), ta suy ra (AH^2 = 25/(144a^2)).
Mặt khác, ta có (HB + HC = BC = sqrt(AB^2 + AC^2) = 5a).
Thể tích khối tròn xoay sinh ra là: V = V1 + V2 = (1/3)pi AH^2 (HB + HC) = (1/3)pi (144a^2/25) * 5a = (144pi a^2)/15.
Bài tập 2: Bể nước hình hộp chữ nhật
Cho một cái bể nước hình hộp chữ nhật có ba kích thước 2m, 3m, 2m lần lượt là chiều dài, chiều rộng, chiều cao của lòng trong đựng nước của bể. Hàng ngày, nước ở trong bể được lấy ra bởi một cái gáo hình trụ có chiều cao là 5 cm và bán kính đường tròn đáy là 4 cm. Trung bình mỗi ngày, được múc ra 170 gáo nước để sử dụng (biết mỗi lần múc là múc đầy gáo). Hỏi đến ngày thứ bao nhiêu, bể sẽ hết nước?
Lời giải:
Thể tích nước được đựng đầy trong hình bể là thể tích của hình hộp chữ nhật: V = 2.3.2 = 12(m^3).
Thể tích nước đựng đầy trong một gáo là: Vg = pi(4cm)^25cm = 80pi*(cm^3) = (pi/12500)(m^3).
Mỗi ngày, bể được múc ra 170 gáo nước, tức là trong một ngày lượng nước được lấy ra là: Vm = 170Vg = (17/1250)pi*(m^3).
Ta có: V/Vm = 12/((17/1250)pi) ≈ 280.8616643.
Vậy đến ngày thứ 281, bể sẽ hết nước.
Bài tập 3: Quả bóng bàn và chiếc chén hình trụ
Một quả bóng bàn và một chiếc chén hình trụ có cùng chiều cao. Người ta đặt quả bóng lên chiếc chén và thấy phần ở ngoài của quả bóng có chiều cao bằng 3/4 chiều cao của nó. Hãy tìm V1, V2 lần lượt là thể tích của quả bóng và chiếc chén.
Lời giải:
Gọi chiều cao của chiếc chén hình trụ là 2h và bán kính đường tròn đáy của hình trụ là r.
Gọi O là tâm của quả bóng bàn. Khi đó, khoảng cách từ O đến mặt phẳng thiết diện bằng h/2.
Bán kính đường tròn đáy hình trụ là AI = sqrt(OA^2 - OI^2) = (hsqrt3)/2.
Thể tích của quả bóng bàn là V1 = (4/3)piR^3 = (4/3)pih^3/2 = (4pi*h^3)/3.
Thể tích của chiếc chén là: V2 = pir^2h = pi(hsqrt3/2)^22h = (3pi*h^3)/2.
Bài tập 4: Hình chóp và khối cầu
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, BC=2a. SA vuông góc (ABC) và SA = 2asqrt2. Hãy tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của BC. Do ABC là tam giác vuông cân tại A, ta có AB = AC = BC/sqrt2 = asqrt2 và AM = BC/2 = a.
Tiếp theo, ta dựng đường thẳng qua M song song với SA và cắt mặt phẳng trung trực của SA tại O.
Khi đó, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
Do ABCD là hình chữ nhật, ta có OM = AE = asqrt2.
Mặt khác, R = OA = sqrt(OM^2 + MA^2) = sqrt((asqrt2)^2 + a^2) = asqrt3.
Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp là V = (4/3)piR^3 = 4pia^3sqrt3.