Diện tích tam giác là một trong những công thức toán học quan trọng và chúng ta thường gặp từ lớp 5 đến lớp 12. Tuy nhiên, vì hình tam giác có nhiều loại khác nhau, nên có nhiều công thức tính diện tích tam giác tương ứng. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tổng hợp các công thức tính diện tích tam giác đầy đủ và chi tiết, cùng nhau điểm qua một số tính chất cơ bản của tam giác.
Diện tích tam giác
Hình tam giác là gì? Hình tam giác có những tính chất nào?
Trước khi đi vào tính diện tích tam giác, chúng ta cần hiểu hơn về định nghĩa hình tam giác và ghi nhớ những tính chất đặc biệt của hình tam giác.
Định nghĩa
Hình tam giác là một hình học cơ bản trong toán học và hình học. Nó là một đa giác có ba cạnh và ba đỉnh. Các cạnh của tam giác nối các đỉnh với nhau và các góc giữa các cạnh tạo thành các góc của tam giác.
Xem thêm: Bảng chữ cái tiếng Việt cho bé
Phân loại
Có một số cách phân loại tam giác dựa trên các tính chất khác nhau của nó:
- Theo cạnh
- Tam giác đều: Có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau (60 độ).
- Tam giác cân: Có ít nhất hai cạnh bằng nhau.
- Tam giác vuông: Có một góc vuông (90 độ).
- Theo góc
- Tam giác nhọn: Có ba góc nhọn, tức là các góc đều nhỏ hơn 90 độ.
- Tam giác tù: Có một góc tù, tức là một góc lớn hơn 90 độ.
- Tam giác vuông: Đã đề cập ở trên, có một góc vuông.
- Theo độ dài các cạnh
- Tam giác thường: Có ba cạnh và ba góc đều không bằng nhau.
- Tam giác đều, cân, vuông, tù,...
Xem thêm: Học môn tự nhiên nên thi khối nào? Các ngành học triển vọng năm 2023
Tính chất
Hình tam giác có nhiều tính chất quan trọng và đáng chú ý trong hình học và toán học. Dưới đây là một số tính chất cơ bản của tam giác, hãy ghi nhớ để làm bài tập một cách hiệu quả:
-
Tổng các góc trong tam giác: Tổng của ba góc trong một tam giác luôn bằng 180 độ. Công thức này được gọi là Định lý tổng các góc trong tam giác.
-
Định lý góc ngoài tam giác: Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong tam giác không chứa nó. Hay nói cách khác, mỗi góc ngoài bằng góc phần còn lại khi ta loại bỏ nó khỏi tam giác.
-
Bất đẳng thức tam giác: Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài cạnh còn lại. Nếu tam giác có cạnh đủ dài, tổng hai cạnh ngắn hơn sẽ lớn hơn cạnh dài nhất.
-
Định lý Pythagoras: Đối với tam giác vuông, bình phương độ dài cạnh huyền (cạnh đối diện góc vuông) bằng tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vuông (được gọi là định lý Pythagoras).
-
Đoạn phân giác của tam giác: Đoạn thẳng từ một đỉnh của tam giác đến điểm trên cạnh đối diện, sao cho chia cạnh thành hai đoạn có tỷ số bằng tỷ số độ dài hai cạnh còn lại, đó là đoạn phân giác.
-
Các trung điểm trong tam giác: Ba đoạn thẳng nối các đỉnh của tam giác tới các điểm trung điểm của cạnh đối diện là ba đoạn thẳng có độ dài bằng nhau và giao nhau tại một điểm (gọi là trọng tâm của tam giác).
-
Tính chất chu vi và diện tích: Tam giác có chu vi bằng tổng độ dài ba cạnh của nó. Diện tích của tam giác có thể được tính bằng nhiều phương pháp khác nhau như Công thức diện tích Heron hoặc sử dụng chiều cao và cạnh tương ứng.
Đây chỉ là một số tính chất cơ bản của tam giác. Tam giác là một hình học đa diện đa dạng, có nhiều tính chất khác nhau và được nghiên cứu sâu trong hình học và các lĩnh vực toán học liên quan.
Hình tam giác được chia thành nhiều loại khác nhau
Tổng hợp 6 công thức tính diện tích tam giác chi tiết
Để tính diện tích tam giác, chúng ta có thể áp dụng nhiều công thức tương ứng với các đặc điểm phân loại của tam giác đó. Dưới đây là tổng hợp 6 công thức tính diện tích hình tam giác chi tiết:
1. Công thức tính diện tích tam giác thường chính xác
- Đối với tam giác thường ABC, công thức tính diện tích là: S(ABC) = (1/2) a h.
- Trong đó, a là độ dài một cạnh bất kỳ, h là chiều cao tương ứng của cạnh đó.
Ví dụ minh họa: Một tam giác thường có độ dài cạnh đáy là 5cm và chiều cao là 2.4cm. Áp dụng công thức trên, ta có S = (5 x 2.4) / 2 = 6 cm².
2. Công thức tính diện tích tam giác cân kèm ví dụ
- Đối với tam giác cân ABC, công thức tính diện tích là: S(ABC) = (1/2) b h.
- Trong đó, b là độ dài cạnh đáy tam giác, h là chiều cao từ đỉnh tam giác xuống cạnh đáy.
Ví dụ minh họa: Tam giác ABC có độ dài cạnh a là 6cm, chiều cao h từ đỉnh xuống cạnh A là 4 cm. Diện tích tam giác ABC được tính như sau: ½ (6*4) = 12 cm².
3. Công thức tính diện tích tam giác đều chi tiết
- Đối với tam giác đều ABC, công thức tính diện tích là: S(ABC) = (1/2) a h.
- Trong đó, a là độ dài một cạnh bất kỳ và h là chiều cao bất kỳ (trong tam giác đều, chiều cao của các cạnh đều bằng nhau).
Ví dụ minh họa: Tam giác đều ABC có các cạnh bằng nhau và bằng 7cm, chiều cao hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là 6 cm. Diện tích tam giác ABC được tính như sau: ½ (7*6) = 21 cm².
4. Cách tính diện tích tam giác vuông kèm ví dụ
- Đối với tam giác vuông ABC, công thức tính diện tích là: S(ABC) = (1/2) a b.
- Trong đó, a và b là độ dài hai cạnh góc vuông.
Ví dụ minh họa: Tam giác vuông ABC có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 5 cm và 8 cm. Diện tích tam giác ABC được tính như sau: ½ (5*8) = 20 cm².
5. Công thức tính diện tích tam giác vuông cân đầy đủ
- Đối với tam giác vuông cân ABC, công thức tính diện tích là: S(ABC) = (1/2) * a².
- Trong đó, a là độ dài hai cạnh góc vuông bằng nhau.
Ví dụ minh họa: Tam giác vuông cân ABC có độ dài hai cạnh góc vuông là 4 cm. Diện tích tam giác ABC được tính như sau: S(ABC) = ½ (4²) = 8 cm².
6. Công thức tính diện tích tam giác trong hệ tọa độ Oxyz
- Đối với tam giác trong hệ tọa độ Oxyz, công thức tính diện tích là: S(ABC) = ½ * |(AB x AC)|.
- Trong đó, AB và AC là hai vectơ biểu diễn tam giác ABC trên trục Oxyz.
Ví dụ minh họa: Trên hệ trục tọa độ, tam giác ABC có 3 điểm A(-1; 1; 2), B(1; 2; 3), C(3; -2; 0). Diện tích tam giác ABC được tính như sau:
Hình ảnh công thức:
Cách tính diện tích tam giác cân đơn giản
- Đối với tam giác cân ABC, công thức tính diện tích là: S(ABC) = (1/2) a h.
- Trong đó, a là chiều dài cạnh còn lại khác hai cạnh có độ dài bằng nhau (BC), h là chiều cao nối từ đỉnh góc đối diện của cạnh đó xuống đáy (AM).
Ví dụ minh họa: Cho tam giác cân ABC có độ dài 2 cạnh AB và AC bằng nhau, cạnh BC có độ dài là 9 cm. Chiều cao nối từ đỉnh A xuống BC có độ dài là 5 cm. Diện tích tam giác ABC cân được tính như sau: S(ABC) = ½ (9 * 5) = 22.5 cm².
Hướng dẫn cách tính diện tích hình tam giác theo các thông tin có sẵn
Không phải bài toán tính diện tích tam giác nào cũng có sẵn các thông số tương ứng với công thức chung, vì vậy bạn cần tư duy và tính toán. Dưới đây là một số dạng bài tập tính diện tích hình tam giác phổ biến nhất:
Các dạng bài tập tính diện tích tam giác thường gặp
Từ công thức tính diện tích tam giác đã được đề cập ở trên, có rất nhiều dạng bài tập mà bạn cần lưu ý, vì sẽ thường xuyên gặp trong nhiều bài tập. Hãy ghi nhớ những công thức trên và tìm hiểu các dạng bài tập dưới đây để có thể giải quyết chúng một cách nhanh chóng:
Bài tập tính diện tích tam giác khi biết chiều dài cạnh đáy và chiều cao h
Đây là dạng bài tập khá dễ, áp dụng công thức tính diện tích tam giác cơ bản là sẽ cho ra kết quả chính xác:
S (ABC) = ½ (a*h).
Ví dụ minh họa: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh đáy BC là 40 cm, chiều cao tương ứng với cạnh đáy BC có độ dài là 5 cm. Tính diện tích tam giác ABC.
Lời giải: S(ABC) = ½ (BC h) = ½ (40 5) = 100 cm².
Bài tập tính diện tích tam giác khi biết độ dài các cạnh
Với dạng bài tập này, ta có thể giải theo cách là áp dụng công thức Heron:
S(ABC) = √(p (p - a) (p - b) * (p - c))
Trong đó, tam giác ABC có ba cạnh a, b và c, và nửa chu vi là p (p = (a + b + c) / 2)
Bài tập tính diện tích tam giác đều khi biết độ dài một cạnh
Khi biết độ dài một cạnh trong tam giác đều, đồng nghĩa với việc ta biết độ dài của cả ba cạnh và biết 3 góc bằng nhau và bằng 60 độ. Đối với dạng bài tập này có thể tính theo 3 cách như sau:
-
Áp dụng công thức diện tích tam giác đều cạnh a.
-
Đi tìm chiều cao của tam giác.
-
Sử dụng công thức Heron.
Bài tập tính diện tích tam giác trong tọa độ Oxyz
Trong hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có 3 điểm
- A (x1; y1; z1)
- B (x2; y2; z2)
- C (x3; y3; z3)
Dựa trên công thức:
S(ABC) = ½ * |(AB x AC)|.
Ta tìm được 2 vecto AB và AC bằng cách trừ các điểm x;y;z của 2 điểm A với B và A với C.
Sau khi tìm được tọa độ (x; y; z) của 2 vecto đó, ta tiến hành nhân 2 vecto lại với nhau và chia cho 2 là ra kết quả.
Tìm độ dài cạnh huyền trong tam giác vuông khi biết diện tích và cạnh a
Công thức tính diện tích tam giác vuông như sau: S(ABC) = ½ a b.
Để tìm được độ dài cạnh huyền, ta tiến hành các bước sau:
-
Tìm độ dài cạnh b.
-
Áp dụng công thức Pythagoras để tìm độ dài cạnh huyền.
-
Tìm được độ dài cạnh huyền.
Tìm S tam giác khi biết chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp
Chúng ta sử dụng công thức liên quan đến tam giác và đường tròn nội tiếp để tính S:
S = (abc) / (8R), khi biết chu vi (P) và bán kính đường tròn nội tiếp (r) của tam giác.
