Chào mừng bạn đến với chuyên đề tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán 10 về Đại số Hàm số bậc nhất có đáp án. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về các dạng bài tập phổ biến về hàm số bậc nhất và cách giải chúng.
Cách xác định hàm số y = ax + b và sự tương giao của đồ thị hàm số
1. Phương pháp giải
Để xác định hàm số bậc nhất, ta thực hiện như sau:
- Gọi hàm số cần tìm là y = ax + b (với a ≠ 0).
- Dựa vào giả thiết từ bài toán, thiết lập và giải hệ phương trình với ẩn a, b để suy ra hàm số cần tìm.
- Cho hai đường thẳng có phương trình d1: y = a1x + b1 và d2: y = a2x + b2. Khi đó: a) Nếu d1 và d2 trùng nhau thì a1 = a2, b1 = b2. b) Nếu d1 và d2 song song thì a1 = a2, b1 ≠ b2. c) Nếu d1 và d2 cắt nhau thì a1 ≠ a2. Tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình. d) Nếu d1 và d2 vuông góc nhau thì a1.a2 = -1.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Cho hàm số bậc nhất có đồ thị là đường thẳng d. Tìm hàm số đó biết: a) d đi qua A(1; 3), B(2; -1). b) d đi qua C(3; -2) và song song với Δ: 3x - 2y + 1 = 0. c) d đi qua M (1; 2) và cắt hai tia Ox, Oy tại P, Q sao cho SΔOPQ nhỏ nhất. d) d đi qua N (2; -1) và d vuông góc với d': y = 4x + 3.
Hướng dẫn: a) Vì A ∈ d và B ∈ d, ta có hệ phương trình: 3 = a + b (1) -1 = 2a + b (2) Từ đó suy ra a = -4 và b = 7. Vậy hàm số cần tìm là y = -4x + 7.
b) Ta có Δ: y = 3x/2 + 1/2. Vì d // Δ, suy ra -2 = 3a + b (3) Từ (1) và (3) suy ra a = 3/2 và b = -13/2. Vậy hàm số cần tìm là y = 3x/2 - 13/2.
c) Đường thẳng d cắt tia Ox tại P((-b)/a; 0) và cắt tia Oy tại Q(0; b) với b > 0 và a < 0. (Do cắt tia Ox, Oy nên hoành độ và tung độ giao điểm đều dương). Ta có M ∈ d, suy ra 2 = a + b Thay vào (3) ta được a = -2 và b = 4. Vậy hàm số cần tìm là y = -2x + 4.
d) Đường thẳng d đi qua N(2; -1), suy ra -1 = 2a + b Và d ⊥ d', suy ra a = -1/4. Từ đó, b = -1 - 2a = -1/2. Vậy hàm số cần tìm là y = (-1/4)x - 1/2.
Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng d: y = x + 2m và d': y = 3x + 2 (m là tham số) a) Chứng minh rằng hai đường thẳng d, d' cắt nhau và tìm tọa độ giao điểm của chúng. b) Tìm m để ba đường thẳng d, d' và d'': y = -mx + 2 phân biệt đồng quy.
Hướng dẫn: a) Ta có ad = 1 ≠ ad' = 3, suy ra hai đường thẳng d, d' cắt nhau. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d, d' là nghiệm của hệ phương trình.
b) Vì ba đường thẳng d, d', d'' đồng quy, nên M ∈ d". Ta có: 3m - 1 = -m(m - 1) + 2 ⇔ m^2 + 2m - 3 = 0
Với m = 1, ta có ba đường thẳng là d: y = x + 2, d': y = 3x + 2 và d'': y = -x + 2 phân biệt đồng quy tại M(0; 2).
Với m = -3, ta có d' ≡ d'', suy ra m = -3 không thỏa mãn.
Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.
Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
1. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau a) y = 3x + 6 b) y = - 1x/2 + 3/2
Hướng dẫn: a) Ta có TXĐ: R, a = 3 > 0, nên hàm số đồng biến trên R. Bảng biến thiên:
| x | -∞ | -2 | +∞ |
|---|---|---|---|
| y | -∞ | 0 | +∞ |
Đồ thị hàm số y = 3x + 6 đi qua A(-2; 0), B(0; 6).
b) Ta có TXĐ: D = R, a = (-1)/2 < 0, nên hàm số nghịch biến trên R. Bảng biến thiên:
| x | -∞ | ∞ |
|---|---|---|
| y | ∞ | -∞ |
Đồ thị hàm số y = -1x/2 + 3/2 đi qua A(3; 0), B(0; 3/2)
Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số có đồ thị (C) (hình vẽ) a) Hãy lập bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3] b) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên [-4; 2]
Hướng dẫn: a) Bảng biến thiên của hàm số trên [-3; 3]
| x | -3 | 0 | 3 |
|---|---|---|---|
| y | -12 | -1 | 4 |
b) Dựa vào đồ thị hàm số đã cho, ta có:
| x | -4 | 0 | 2 |
|---|---|---|---|
| y | -13 | -2 | 5 |
Cách vẽ Đồ thị hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối
1. Phương pháp giải
Để vẽ đồ thị (C) của hàm số y = |ax + b|, ta có hai phương pháp sau:
Cách 1: Vẽ hai đường thẳng y = ax + b và y = -ax - b, sau đó lấy phần đồ thị nằm trên trục hoành.
Cách 2: Vẽ đồ thị y = ax + b và y = -ax - b, rồi xóa đi phần đường thẳng nằm dưới trục hoành. Phần đường thẳng nằm trên trục hoành chính là đồ thị y = |ax + b|.
Chú ý:
- Biết trước đồ thị (C): y = f(x), đồ thị (C1): y = f(|x|) bao gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở bên phải trục tung.
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở bên trái trục tung qua trục tung.
- Biết trước đồ thị (C): y = f(x), đồ thị (C2): y = |f(x)| bao gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị (C) ở phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng đồ thị (C) ở phía dưới trục hoành và lấy đối xứng qua trục hoành.
2. Các ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Vẽ đồ thị của các hàm số sau: a) y = |x| - 2 b) y = ||x| - 2|
Hướng dẫn: a) Cách 1: Vẽ đường thẳng y = x - 2 đi qua hai điểm A (0; -2), B (2; 0) và lấy phần đường thẳng bên phải trục tung. Vẽ đường thẳng y = - x - 2 đi qua hai điểm A (0; -2), B (- 2; 0) và lấy phần đường thẳng bên trái trục tung.
Cách 2: Đường thẳng d: y = x - 2 đi qua A (0; -2), B (2; 0). Khi đó, đồ thị của hàm số y = |x| - 2 là phần đường thẳng d nằm bên phải trục tung và phần đối xứng của nó qua trục tung.
b) Đồ thị y = ||x| - 2| bao gồm phần:
- Giữ nguyên đồ thị hàm số y = |x| - 2 ở phía trên trục hoành.
- Lấy đối xứng phần đồ thị hàm số y = |x| - 2 ở phía dưới trục hoành.
Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm hiểu thêm các dạng bài tập khác về Hàm số bậc nhất và bậc hai như:
- Chủ đề: Đại cương về hàm số
- Chủ đề: Hàm số bậc hai
- Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập tự luận)
- Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 1)
- Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 2)
- Bài tập chương: Hàm số bậc nhất và bậc hai (Bài tập trắc nghiệm - phần 3)
Đồng thời, bạn cũng có thể tham gia săn SALE tại shopee trong dịp Tết với các ưu đãi hấp dẫn cho đồ dùng học tập, sữa dưỡng thể Vaseline, Tsubaki, L'Oreal và nhiều ưu đãi khác.
Hy vọng những thông tin trên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức về Hàm số bậc nhất và cải thiện kỹ năng giải các dạng bài tập. Chúc bạn học tập hiệu quả và thành công!
