Nghiệm của đa thức một biến là một phần quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 7. Để giúp các em học sinh ôn tập và củng cố kiến thức về phần này, chúng tôi xin giới thiệu Bài tập Toán lớp 7: Nghiệm của đa thức một biến. Bài tập này không chỉ bao gồm các bài tập trong sách giáo khoa mà còn có thêm những dạng bài tập liên quan để các em luyện tập. Đây là tài liệu tham khảo hữu ích dành cho quý thầy cô và các vị phụ huynh để ôn tập cho kỳ học môn Toán lớp 7. Hãy cùng tham khảo chi tiết!
A. Lý thuyết cần nhớ về nghiệm của đa thức một biến
1. Định nghĩa
- Nếu tại x = a, đa thức f(x) có giá trị bằng 0, chúng ta nói a là một nghiệm của đa thức f(x).
2. Số nghiệm của đa thức một biến
- Một đa thức có thể có 1, 2, 3, ..., n nghiệm hoặc không có nghiệm nào.
Lưu ý: Số nghiệm của một đa thức không vượt qua bậc của nó.
B. Các bài toán về nghiệm của đa thức một biến
I. Bài tập trắc nghiệm:
- Khoanh vào chữ cái đặt trước câu trả lời đúng.
Câu 1: Cho đa thức f(x) = x² - 6x + 8. Trong các số sau, số nào là nghiệm của đa thức đã cho? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
Câu 2: Nghiệm của đa thức x² - 10x + 9 là: A. -1 và -9 B. 1 và -9 C. 1 và 9 D. -1 và 9
Câu 3: Tích các nghiệm của đa thức x¹¹ - x¹⁰ + x⁹ - x⁸ là A. -3 B. -2 C. -1 D. 0
Câu 4: Số nghiệm của đa thức x³ + 8 là: A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
Câu 5: Hiệu giữa nghiệm lớn và nghiệm nhỏ của đa thức 3x² - 27 là: A. 0 B. 6 C. -1 D. -6
II. Bài tập tự luận
Bài 1: Cho đa thức f(x) = x² - x - 6 a, Tính giá trị của f(x) tại các giá trị: x = 1, x = 2, x = 3, x = -1, x = - 2, x = -3 b, Trong các giá trị trên, giá trị nào của x là nghiệm của đa thức f(x)?
Bài 2: Tìm nghiệm của các đa thức sau: a, (x - 3)(x + 3) b, (x - 2)(x² + 2) c, 6 - 2x d, (x³ - 8)(x - 3) e, x² - 4x f, x² - 5x + 4 g, 6x³ + 2x⁴ + 3x²- x³ - 2x⁴ - x - 3x² - 4x³
Bài 3: Chứng tỏ các đa thức sau không có nghiệm: a, 10x² + 3 b, x² + 1
Bài 4: Xác định hệ số tự do c để đa thức f(x) = 4x² - 7x + c có nghiệm bằng 5.
Bài 5: Lập đa thức một biến trong mỗi trường hợp sau: a) Chỉ có một nghiệm là -2/5 b) Chỉ có hai nghiệm là √2 và -√3 c) Chỉ có ba nghiệm là (0,7), (-0,7), (-0,6) d) Vô nghiệm
Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P: x = x³ + 2x² - 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên.
C. Hướng dẫn giải bài tập về nghiệm của đa thức một biến
I. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: B Câu 2: C Câu 3: B Câu 4: B Câu 5: D
II. Bài tập tự luận
Bài 1: a, f(1) = 1² - 1 - 6 = -6 f(2) = 2² - 2 - 6 = -4 f(3) = 3² - 3 - 6 = 0 f(-1) = (-1)² - (-1) - 6 = -4 f(-2) = (-2)² - (-2) - 6 = 0 f(-3) = (-3)² - (-3) - 6 = 6
b, Giá trị x = 3 và x = -2 là nghiệm của đa thức f(x).
Bài 2: a, Xét (x - 3)(x + 3) = 0 ⇒ x - 3 = 0 hoặc x + 3 = 0 ⇒ x = 3 hoặc x = -3 Vậy x = 3 và x = -3 là các nghiệm của đa thức (x - 3)(x + 3).
b, Xét (x - 2)(x² + 2) = 0 ⇒ x - 2 = 0 hoặc x² + 2 = 0 Với x - 2 = 0 ⇒ x = 2 Với x² + 2 = 0, ta nhận thấy x² > 0 với mọi x, nên x² + 2 > 0 với mọi x. Vậy không có giá trị nào của x để x² + 2 = 0 Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức (x - 2)(x² + 2).
c, Xét 6 - 2x = 0 ⇒ x = 3 Vậy x = 3 là nghiệm của đa thức 6 - 2x.
d, Xét (x³ - 8)(x - 3) = 0 ⇒ x³ - 8 = 0 hoặc x - 3 = 0 Với x³ - 8 = 0 ⇒ x³ = 8 ⇒ x = 2 Với x - 3 = 0 ⇒ x = 3 Vậy x = 3 và x = 2 là các nghiệm của đa thức (x³ - 8)(x - 3).
e, Xét x² - 4x = 0 ⇒ x(x - 4) = 0 ⇒ x = 0 hoặc x - 4 = 0 Với x - 4 = 0 ⇒ x = 4 Vậy x = 0 hoặc x = 4 là nghiệm của đa thức x² - 4x.
f, Xét x² - 5x + 4 = 0 ⇒ x² - x - 4x + 4 = 0 ⇒ x(x-1) - 4(x - 1) = 0 ⇒ (x - 1)(x - 4) = 0 ⇒ x - 1 = 0 hoặc x - 4 = 0 Với x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Với x - 4 = 0 ⇒ x = 4 Vậy x = 1 và x = 4 là các nghiệm của đa thức x² - 5x + 4.
g, Xét 6x³ + 2x⁴ + 3x²- x³ - 2x⁴ - x - 3x² - 4x³ = 0 ⇔ x³ - x = 0 ⇔ x(x - 1) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x - 1 = 0 Với x - 1 = 0 ⇒ x = 1 Vậy x = 0 và x = 1 là các nghiệm của đa thức 6x³ + 2x⁴ + 3x²- x³ - 2x⁴ - x - 3x² - 4x³.
Bài 3: a, Vì x² luôn dương với mọi x, nên 10x² + 3 > 0 với mọi x. Vậy không có nghiệm.
b, Vì x² luôn dương với mọi x, nên x² + 1 > 0 với mọi x. Vậy không có nghiệm.
Bài 4: Để đa thức f(x) = 4x² - 7x + c có nghiệm bằng 5. ⇒ f(5) = 0 ⇒ 4.5² -7.5 + c = 0 ⇒ c = -65 Vậy với c = -65 thì đa thức có nghiệm bằng 5.
Bài 5:
- a) Chỉ có một nghiệm là -2/5 ⇒ A = 5x + 2
- b) Chỉ có hai nghiệm là √2 và -√3 ⇒ B = (x - √2)(x + √3) ⇒ B = x² + √3x - √2x - √6
- c) Chỉ có ba nghiệm là (0,7), (-0,7), (-0,6) ⇒ C = (x - 0,7)(x + 0,7)(x + 0,6) ⇒ C = x³ + 0,6x² - 0,49x - 0,294
- d) Vô nghiệm ⇒ D = x² + 5
Bài 6: Chứng minh rằng đa thức P: x = x³ + 2x² - 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên. Ta có: x = x³ + 2x² - 3x + 1 ⇔ x³ + 2x² - 3x - x = -1 ⇔ x(x² + 2x - 4) = -1 Giả sử phương trình có nghiệm nguyên ⇒ x và x² + 2x - 4 là ước của -1
TH1: Khi x = 1 ⇒ { x = 1 { x² + 2x - 4 = -1 ⇒ { x = 1 { (x + 1)² = 4 ⇒ { x = 1 { x = -3
Thay x = 1 vào phương trình, ta thấy thỏa mãn.
TH2: Khi x = -1 ⇒ { x = -1 { x² + 2x - 4 = 1 ⇒ ⇒ Không có nghiệm nguyên
Vậy đa thức P: x = x³ + 2x² - 3x + 1 có duy nhất một nghiệm nguyên.
- Trong quá trình học môn Toán lớp 7, các em sẽ gặp những bài toán khó và phải tìm cách giải quyết. Hiểu được điều này, chúng tôi đã sưu tầm và chọn lọc thêm phần Giải Toán 7 để giúp các em học tốt hơn.
Ngoài bài tập cơ bản môn Toán lớp 7 chuyên đề này, các em có thể tham khảo thêm các đề thi học kì 2 môn Toán và môn Ngữ Văn để chuẩn bị tốt kiến thức cho kỳ thi học kì 2 sắp tới.
Mời các em và quý thầy cô tham khảo thêm một số tài liệu liên quan đến bài học:
- Trắc nghiệm: Nghiệm của đa thức một biến
- Trắc nghiệm Đa thức một biến
- Nghiệm của đa thức một biến
- 350 bài tập trắc nghiệm phép nhân và phép chia các đa thức
