Các bài toán thực tế về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
Bài tập 1: Người ta tiêm một loại thuốc vào mạch máu ở cánh tay phải của một bệnh nhân. Sau thời gian là t giờ, nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó được xác định theo công thức $C(t)=\frac{0,28t}{{t^{2}}+4}$. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì nồng độ thuốc hấp thu trong máu của bệnh nhân đó là cao nhất?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $t$ trong $(0,24)$ để $C(t)=\frac{0,28t}{{t^{2}}+4}$ đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số $C(t)=\frac{0,28t}{{t^{2}}+4}$ trên $(0,24)$, có $C'(t)=\frac{0,28({t^{2}}+4)-0,28t.2t}{{({t^{2}}+4)^{2}}}=\frac{-0,28{t^{2}}+1,12}{{({t^{2}}+4)^{2}}}$
Phương trình $C'(t)=0 \iff \begin{cases} 0 < t < 24 \ -0,28{t^{2}}+1,12=0 \end{cases} \iff t=2$. Tính $C(2)=0,07$
Suy ra $max(C(t))=C(2)=0,07$. Vậy sau 2 giờ thì nồng độ hấp thu là cao nhất.
Bài tập 2: Người ta giới thiệu một loại thuốc kích thích sự sinh sản của một loại vi khuẩn. Sau ít phút, số vi khuẩn được xác định theo công thức $N(t)=1000+30{t^{2}}-{t^{3}},\,(0 \le t \le 30)$. Hỏi sau bao nhiêu phút thì số vi khuẩn lớn nhất?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $t$ trong $[0,30]$ để $N(t)=1000+30{t^{2}}-{t^{3}}$ đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số $N(t)=1000+30{t^{2}}-{t^{3}}$ trên $[0,30]$, có $N'(t)=60t-3{t^{2}}$
Phương trình $N'(t)=0 \iff \begin{cases} 0 \le t \le 30 \ 60t-3{t^{2}}=0 \end{cases} \iff t=20$. Tính $\begin{cases} N(0)=N(30)=1000 \ N(20)=5000 \end{cases}$
Suy ra $max(N(t))=N(20)=5000$. Vậy sau 20 phút thì số vi khuẩn là lớn nhất.
Bài tập 3: Ông A muốn mua một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích bằng 100m2 để làm khu vườn. Hỏi người đó phải mua mảnh đất có kích thước như thế nào để chi phí xây dựng bờ rào là ít tốn kém nhất?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Cho diện tích và tìm giá trị nhỏ nhất của chu vi hình chữ nhật
Gọi $x$, $y$ lần lượt là chiều rộng, chiều dài của hình chữ nhật
Diện tích hình chữ nhật là $S=xy=100 \Rightarrow y=\frac{100}{x}$
Chu vi hình chữ nhật (bờ rào mảnh đất) là $C=2x+2y=2x+\frac{200}{x}$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có $2x+\frac{200}{x}\ge2\sqrt{2\frac{200}{x}}=40\Rightarrow C_{min}=40$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2x=\frac{200}{x}\Leftrightarrow x^2=100\Leftrightarrow x=10\Rightarrow y=10$
Bài tập 4: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm kích thước của hộp hình chữ nhật
Gọi $h$, $x$ lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hộp chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật là $V=Bh=x^2h=8\Leftrightarrow h=\frac{8}{x^2}$
Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là $S{tp}=S{xq}+S_d=4xh+2x^2=2x^2+\frac{32}{x}$
Ta có $2x^2+\frac{32}{x}\ge2x^2+\frac{16}{x}+\frac{16}{x}\ge 3\sqrt[3]{2x^2.\frac{16}{x}.\frac{16}{x}}=24\Rightarrow S_{min}=24$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $2x^2=\frac{16}{x}\Leftrightarrow x^3=8\Leftrightarrow x=2$
Bài tập 5: Cho một tấm nhôm hình vuông cạnh 12cm. Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhôm đó bốn hình vuông bằng nhau, mỗi hình vuông có cạnh $x$ cm, rồi gập tấm nhôm lại như hình vẽ dưới đây để được một cái hộp không nắp. Tìm x để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $x$ để thể tích của hộp là lớn nhất
Khi cắt và gấp tấm nhôm, ta được hình hộp chữ nhật có chiều cao $x$; đáy là hình vuông cạnh
Diện tích hình chữ nhật là $S=xy=100\Leftrightarrow y=\frac{100}{x}$
Chu vi hình chữ nhật (chiều dài của nhôm) là $C=2x+2y=2x+\frac{200}{x}$
Suy ra $\frac{200}{x}$ nhỏ nhất khi $x$ nhỏ nhất, vậy $x=4$
Bài tập 6: Một công ty muốn thiết kế một loại hộp có dạng hình hộp chữ nhật có đáy là hình vuông sao cho thể tích khối hộp được tạo thành là 8dm3 và diện tích toàn phần đạt giá trị nhỏ nhất. Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm kích thước của hộp hình chữ nhật
Gọi $h$, $x$ lần lượt là chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình hợp chữ nhật
Thể tích khối hộp chữ nhật là $V=Bh=x(12-2x)(12-2x)$
Cách 1: Khảo sát hàm số $f(x)=x(12-2x)(12-2x)$ trên $(0;6)\rightarrow \underset{(0;6)}{\mathop{\max }},f(x)$
Cách 2: Ta có $4x(12-2x)(12-2x)\le \frac{({4x+12-2x+12-2x)}^{3}}{27}=512\Rightarrow V\le 128$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $4x=12-2x\Leftrightarrow 6x=12\Leftrightarrow x=2$
Bài tập 7: Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ hộp là ít nhất (diện tích toàn phần của lon là nhỏ nhất). Bán kính đáy vỏ lon là bao nhiêu khi ta muốn có thể tích lon là 314 cm3 ?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của bán kính đáy khi thể tích là lớn nhất
Gọi $R$, $h$ lần lượt là bán kính đáy, chiều cao của lon sữa
Thể tích của lon sữa hình trụ là $V=Bh=\pi R^2h=314\Leftrightarrow h=\frac{314}{\pi R^2}$
Diện tích toàn phần hình hộp chữ nhật là $S_{tp}=2\pi Rh+2\pi R^2=2\pi R^2+\frac{628}{R}$
Ta có $2\pi R^2+\frac{628}{R}=2\pi R^2+\frac{314}{R}+\frac{314}{R}\ge 3\sqrt[3]{2\pi R^2\frac{314}{R}\frac{314}{R}}=24\Rightarrow S_{min}=24$
Dấu bằng xảy ra khi $2\pi R^2=\frac{314}{R}\Leftrightarrow R^3=8\Leftrightarrow R=\sqrt[3]{\frac{314}{2\pi}}$
Bài tập 8: Có hai cây cột dựng đứng trên mặt đất lần lượt là $AB=1m$, $CD=4m$ và đỉnh của hai cột là hai điểm A và C cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa B, D) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí. Chi phí mỗi mét dây điện trên đất liền là 3000 USD, mỗi mét trên điện đặt ngầm dưới biển mất 5000 USD. Hỏi điểm cần chọn cách A bao nhiêu mét để chi phí mắc dây điện ít nhất?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm vị trí trên mặt đất để chi phí mắc dây điện là ít nhất
Đặt $BC=x \ (m)$, ta có $BD=\sqrt{5^2-(4-1)^2}=4$ nên $ED=BD-BE=4-x$
Lại có $AE+EC=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+16}$. Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-8x+32}, \ x > 0$
Ta có $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+32}}; \forall x > 0$
Giải phương trình $f'(x)=0,$ ta thu được $x=\frac{4}{5}$ và tìm được $min f(x)=\sqrt{41}$
Vậy điểm cần chọn cách A $0.41$ mét để chi phí mắc dây điện ít nhất.
Bài tập 9: Doanh nghiệp Alibaba cần sản xuất một mặt hàng trong đúng 10 ngày và phải sử dụng hai máy A và B. Máy A làm việc trong x ngày và cho số tiền lãi là $x^3+2x$ (triệu đồng), máy B làm việc trong y ngày và cho số tiền lãi là $326y-27y^2$ (triệu đồng). Hỏi doanh nghiệp Alibaba cần sử dụng máy A làm việc trong bao nhiêu ngày sao cho số tiền lãi là nhiều nhất? (Biết rằng A và B không đồng thời làm việc, máy B làm việc không quá 6 ngày).
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị của $x$ để số tiền lãi là lớn nhất
Tổng số tiền hai máy làm được là $T=T_A+T_B=x^3+2x+326y-27y^2$
Theo bài ra, ta có $x+y=10 \iff y=10-x$ và $4 \le x \le 10$
Suy ra $T=x^3+2x+326(10-x)-27(10-x)^2$
Xét hàm số $f(x)=x^3+2x+326(10-x)-27(10-x)^2$ trên $[4,10]$, có $f'(x)=3(x^2+2-2(10-x)27)-2(10-x)54=54x-1080$
Phương trình $f'(x)=0 \Leftrightarrow x=6 \xrightarrow{} \underset{\text{(4,10)}}{\max}, f(x)=f(6)=1100$
Vậy $x=6$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập 10: Có hai cây cột dựng đứng trên mặt đất lần lượt là $AB=1m$, $CD=4m$ và đỉnh của hai cột là hai điểm A và C cách nhau 5m. Người ta chọn một vị trí trên mặt đất (nằm giữa B, D) để giăng dây nối đến hai đỉnh cột để trang trí. Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn thẳng không phải dây điện?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng
Đặt $BE=x$ với $x>0$. Ta có $BD=\sqrt{5^2- (4-1)^2}=4$ nên $ED=BD-BE=4-x$
Lại có $AE+EC=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{(4-x)^2+16}$. Đặt $f(x)=\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-8x+32}, x > 0$
Ta có $f'(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+\frac{x-4}{\sqrt{x^2-8x+32}}; \forall x > 0$
Giải phương trình $f'(x)=0,$ ta thu được $x=\frac{4}{5}$ và tìm được $min f(x)=1.66$
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng là $1.66$ m.
Bài tập 11: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích 961 m2, người ta muốn mở rộng thêm 4 phần đất sao cho tạo thành hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn. Biết tâm hình tròn trùng với tâm của hình chữ nhật (xem hình minh họa). Tính diện tích nhỏ nhất $S_{min}$ của 4 phần đất được mở rộng
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng
Gọi $x$ (m), $y$ (m) (x > 0, y > 0) lần lượt là hai kích thước mảnh vườn hình chữ nhật;
R (m) là bán kính hình tròn ngoại tiếp mảnh vườn $x \rightarrow R^2=OB^2=\frac{x^2+y^2}{4}$
Theo đề bài, ta có $\frac{x^2+y^2}{4}+2R=4 \Leftrightarrow x^2+y^2+8R=16$
Mà $x^2+y^2 \ge 2xy$ nên $16 \le 2xy+8R \Leftrightarrow 8R \ge 16-2xy$
Lại có $S_{hcn}=xy=961$, nên $xy \ge 1$
Diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng là
$S=4xy \ge 4$
Vậy diện tích nhỏ nhất của 4 phần đất được mở rộng là 4.
Bài tập 12: Cho hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 2m như hình vẽ. Lấy hai điểm P, Q (thay đổi) lần lượt nằm trên hai cạnh DC, CB sao cho PQ luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB. Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn PQ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng PQ
Gọi $x$ là độ dài của đoạn thẳng PQ
Ta có tỉ số $AP:AQ=PB:CQ=AB:BC=1:2$
Theo định lý hình vòng tròn ngoại tiếp tam giác, ta có $AP=\frac{AB}{AB+BC}x$, $AQ=\frac{BC}{AB+BC}x$
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có $PQ\ge AP+AQ$
$\frac{x}{AB+BC}\ge(\frac{AB}{AB+BC}+\frac{BC}{AB+BC})x=\frac{2}{3}x$
Dẫn ra $\frac{R}{x}\ge\frac{2}{3}$, với $R=AB=2$
Hay $x\ge\frac{3R}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng PQ là $\frac{3R}{2}=\frac{3 \times 2}{2}=3$ m.
Bài tập 13: Một cửa sổ có hình dạng như hình bên, bao gồm: một hình chữ nhật ghép với nửa hình tròn có tâm nằm trên cạnh của hình chữ nhật. Biết rằng tổng độ dài đường viền cho phép của cửa sổ là 4m. Hỏi diện tích lớn nhất của cửa sổ là bao nhiêu?
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm diện tích lớn nhất của cửa sổ
Gọi $x$ (m), $y$ (m) là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật
Thể tích của lon sữa hình trụ là $x \times y$
Diện tích cửa sổ là $S=\frac{x^2}{4}+\frac{x^2}{2}=\frac{4x^2}{4+\pi}$
Vậy diện tích lớn nhất của cửa sổ là $\frac{4}{4+\pi}$ m2.
Bài tập 14: Cho hình vuông ABCD độ dài cạnh bằng 2m. Lấy hai điểm P, Q lần lượt nằm trên hai cạnh CD, CB sao cho PQ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Tìm giá trị nhỏ nhất độ dài đoạn thẳng PQ.
Lời giải chi tiết
Yêu cầu bài toán: Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng PQ
Gọi $x$ là độ dài của đoạn thẳng PQ
Ta có tỉ số $AP:AQ=BP:CQ=AB:BC=1:2$
Theo định lý hình vòng tròn ngoại tiếp tam giác, ta có $AP=\frac{AB}{AB+BC}x$, $AQ=\frac{BC}{AB+BC}x$
Theo bất đẳng thức tam giác, ta có $PQ\ge AP+AQ$
$\frac{x}{AB+BC}\ge(\frac{AB}{AB+BC}+\frac{BC}{AB+BC})x=\frac{2}{3}x$
Dẫn ra $\frac{R}{x}\ge\frac{2}{3}$, với $R=AB=2$
Hay $x\ge\frac{3R}{2}$
Vậy giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng PQ là $\frac{3R}{2}=\frac{3 \times 2}{2}=3$ m.
