Với loạt các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải, học sinh sẽ có thể nắm vững lý thuyết và biết cách làm bài tập môn Toán 12. Chúng ta sẽ tìm hiểu các phương pháp và biết cách áp dụng chúng trong các bài tập. Đây là cách hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi.
Phương pháp biến đổi biến số
Đầu tiên, chúng ta sẽ tìm hiểu về phương pháp biến đổi biến số. Khi cần tìm nguyên hàm của một biểu thức như f(x) = g(u(x))u'(x), chúng ta có thể thực hiện phép đổi biến số t = u(x), từ đó suy ra dt = u'(x)dx. Khi đó, ta có thể tính được nguyên hàm theo biến t. Sau đó, chúng ta phải thay t = u(x) để có kết quả cuối cùng.
Các bước thực hiện phương pháp này như sau:
- Bước 1: Chọn x = φ(t), trong đó φ(t) là một hàm số thích hợp.
- Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế: dx = φ'(t)dt.
- Bước 3: Biến đổi: f(x)dx = f[φ(t)]φ'(t)dt = g(t)dt.
- Bước 4: Tính nguyên hàm theo biến t.
Đây là một số cách đổi biến số hay gặp:
- Với f(x) = ax + b, ta có thể chọn t = ax + b.
- Với f(x) = e^x, ta có thể chọn t = e^x.
- Với f(x) = ln(x), ta có thể chọn t = ln(x).
Phương pháp tính nguyên hàm từng phần
Phương pháp tiếp theo là phương pháp tính nguyên hàm từng phần. Đối với hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b], chúng ta có thể tính nguyên hàm của f(x) thông qua công thức: ∫(f(x)dx) = u(x)v(x) - ∫(v(x)du(x)).
Các bước thực hiện phương pháp này như sau:
- Bước 1: Chọn u, v sao cho từ f(x) = u(x)dv (chú ý dv = v'(x)dx).
- Sau đó, tính v và du.
- Bước 2: Thay vào công thức (*) và tính.
Phương pháp này thường được dùng cho các biểu thức đặc biệt, ví dụ như các đa thức của x. Chúng ta có thể áp dụng quy tắc đường chéo để tính tích phân từng phần.
Hình ảnh minh họa các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải (hay, chi tiết)
Áp dụng nhanh trong trường hợp u là một đa thức bậc cao, chúng ta lấy đạo hàm liên tiếp cho đến khi được kết quả bằng 0, hoặc cho đến khi lấy đạo hàm phức tạp hơn, hoặc cho đến khi lặp lại.
Ví dụ áp dụng: Tìm các nguyên hàm sau:
- ∫(3x^2 + 2x + 1)dx
- ∫(2x^3 - 6x^2 + 4x + 5)dx
Giải: Ta áp dụng quy tắc đường chéo:
- Đối với 3x^2 + 2x + 1, chọn u = x^3 + x^2 + x + 1 và v = x^2.
- Lấy đạo hàm cho u và tính v.
- Thay vào công thức (*) và tính.
Căn cứ vào bảng, ta được:
Qua ví dụ trên, chúng ta cũng có thể tìm thấy các nguyên hàm của các biểu thức khác.
Các ví dụ minh họa
Dưới đây là một số ví dụ minh họa về các phương pháp tìm nguyên hàm và cách giải:
Ví dụ 1: Hãy tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) = x^2 - 2x trên khoảng (-2;+∞).
Lời giải: Ta có: ∫(x^2 - 2x)dx
Đặt t = x + 2 => dt = dx và x = t - 2. Thay vào đề bài ta được: ∫((t - 2)^2 - 2(t - 2))dt
Thay t = x + 2, ta được: ∫(t^2 - 2t)dt
(Do theo đề bài x ∈ (-2;+∞) nên x + 2 > 0)
Chọn D.
Ví dụ 2: Hàm số nào sau đây là một nguyên hàm của f(x) = 2x?
Lời giải: Gọi nguyên hàm của hàm số đã cho là S, ta có: S'(x) = 2x
Đặt S(x) = x^2 + a, ta có S'(x) = 2x. Khi đó: 2x = 2x => a = 0
Chọn A.
Ví dụ 3: Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x) = e^(2x).
Lời giải: Đặt u = 2x => du = 2dx, ta có: ∫(e^(2x)dx) = ∫(e^u * 0.5du) = 0.5e^(2x)
Chọn B.
Bài tập tự luyện
Câu 1: Nguyên hàm của f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 là: Câu 2: Với phương pháp đổi biến số (x → t), nguyên hàm của f(x) = 3x^2 + 4x + 5 là: Câu 3: Nguyên hàm của f(x) = x^3 + 6x^2 + 8x là: Câu 4: Họ nguyên hàm của f(x) = x^3 + 2x^2 + 3x + 4 là: Câu 5: Giá trị a trong f(x) = ax^2 + bx + c = 0, trong đó a,b là hai số hữu tỉ, là: A. 3. B. 2. C. 1. D. Không tồn tại
Câu 6: Tính ∫(x^2 ln x)dx Câu 7: Tính ∫(2^x)dx Câu 8: Họ nguyên hàm của f(x) = x^2 + 2x + 3 là: Câu 9: Họ nguyên hàm của f(x) = x^2 - 2x + 3 là: Câu 10: Họ nguyên hàm của f(x) = x^2 + 3x + 2 là: Câu 11: Họ nguyên hàm của f(x) = x^2 - x + 1 là: Câu 12: Họ nguyên hàm của f(x) = x^2 - 2x + 5 là: Câu 13: Họ nguyên hàm của f(x) = x^2 + x + 1 là: Câu 14: Tính ∫(x^2 e^x)dx Câu 15: Một nguyên hàm của f(x) = x^2 + 1 là:
Đáp án:
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- C A B B B B B A C C D C B C A
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Đây là một số bài tập tự luyện để bạn rèn kỹ năng tìm nguyên hàm. Nếu bạn muốn tìm hiểu thêm về các phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 12, hãy xem thêm trên trang web chúng tôi.
Săn SALE Shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Chú ý: Bài viết này chỉ mang tính chất tham khảo giúp bạn nắm vững lý thuyết và biết cách làm bài tập. Để đạt kết quả cao, hãy áp dụng những kiến thức này trong quá trình ôn tập và làm bài tập.
