Có lẽ bạn đã từng gặp phải bài tập liên quan đến việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp giải chi tiết để giúp bạn ôn tập và nắm vững cách làm bài tập này.
A. Phương pháp giải
Hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song sẽ có giao tuyến là một đường thẳng song song với hai đường thẳng đó.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi d là giao tuyến của mp (SAD) và (SBC). Tìm mệnh đề đúng.
A. d qua S và song song với BC B. d qua S và song song với DC C. d qua S và song song với AB D. d qua S và song song với BD
Lời giải
Ta có:
⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sx // AD // BC
Khi đó, đường thẳng d cần tìm chính là đường thẳng Sx.
Chọn A.
Ví dụ 2:
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J theo thứ tự là trung điểm của AD và AC. Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của 2 mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng:
A. Qua I và song song với AB B. Qua J và song song với BD C. Qua G và song song với CD D. Qua G và song song với BC
Lời giải
Ta có:
⇒ (GIJ) ∩ (BCD) = Gx // IJ // CD
Chọn C
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang với các cạnh đáy là AB và CD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AD và BC. Gọi G là trọng tâm tam giác SAB. Giao tuyến của mp(SAB) và mp(IJG) là:
A. SC B. Đường thẳng qua S và song song với AB C. Đường thẳng qua G và song song với CD D. Đường thẳng qua G và cắt BC.
Lời giải
- Xét hình thang ABCD có: I và J lần lượt là trung điểm của AD và BC ⇒ IJ là đường trung bình của hình thang ⇒ IJ // AB // CD
- Ta có: ⇒ (GIJ) ∩ (SAB) = Gx // IJ // AB
Chọn C
Ví dụ 4:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AB đáy nhỏ CD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và mp(AND). Gọi I là giao điểm của AM và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình vuông D. Hình thoi
Lời giải
- Gọi E là giao điềm của AD và BC; P là giao điểm của NE và SC
- Suy ra: P = SC ∩ (AND)
- Ta có ⇒ (AND) ∩ (SAB) = Ix // AND // AB
- Mà AB // CD nên SI // AB // CD
- Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB và chứng minh được cũng là đường trung bình của tam giác SAI nên suy ra: SI = AB (= 2 MN)
- Tứ giác SABI có 2 cạnh đối SI và AB song song và bằng nhau nên SABI là hình bình hành.
Chọn A
Ví dụ 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC. Khẳng định nào sau đây SAI?
A. IO // SA B. 4 điểm I, O, S và A đồng phẳng C. giao tuyến của mp (SAB) và mp(IBC) là Bx trong đó Bx // SA // IO D. (IBC) ∩ (SAC) = ID
Lời giải
- Xét tam giác SAC có I và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên OI là đường trung bình của tam giác. ⇒ SA // IO và 4 điểm S; A, I, O đồng phẳng ⇒ A và B đúng.
- Ta tìm giao tuyến của mp (SAB) và mp (IBC): ⇒ (SAB) ∩ (IBC) = Bx // SA // IO
Chọn D
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD)
A. là đường thẳng đi qua S song song với AB, CD B. là đường thẳng đi qua S C. là điểm S D. là mặt phẳng (SAD)
Lời giải
Ta có:
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d // AB // CD, S ∈ d
Chọn A.
Câu 2:
Cho hình bình hành ABCD và một điểm S không nằm trong mặt phẳng (ABCD). Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là một đường thẳng song song với đường thẳng nào sau đây?
A. AB B. AC C. BC D. SA
Lời giải
Ta có:
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx // AB
Chọn A.
Câu 3:
Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là trung điểm AD và AC, G là trọng tâm tam giác BCD. Giao tuyến của hai mặt phẳng (GIJ) và (BCD) là đường thẳng
A. qua I và song song với AB B. qua J và song song với BD C. qua G và song song với CD D. qua G và song song với BC
Lời giải
Gọi d là giao tuyến của (GIJ) và (BCD)
- Do I và J lần lượt là trung điểm của AD và AC nên IJ là đường trung bình của tam giác ACD. ⇒ IJ // CD.
- Xét hai mp(GIJ) và mp (BCD): trong đó d qua G và d // CD // IJ
Chọn C
Câu 4:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi M là điểm bất kì thuộc đoạn thẳng SD. Chọn mệnh đề sai?
A. Giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng qua S và song song với AB B. Giao tuyến của (SCD) và (MAB) là đường thẳng qua M và song song với CD. C. Giao tuyến của (SCD) và (MAB) song song với giao tuyến của (SAB) và (SCD) D. A và B đúng ; C sai.
Lời giải
- Ta tìm giao tuyến của mp (SAB) và (SCD):
⇒ (SAB) ∩ (SCD) = d1, với S ∈ d1 và d1 // AB // CD (1)
- Ta tìm giao tuyến của mp(MAB) và (SCD):
⇒ (MAB) ∩ (SCD) = d2 ,với M ∈ d2 và d2 // AB // CD (2)
- Từ (1) và (2) suy ra: d1 // d2
Chọn C
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC. Chọn mệnh đề sai
A. IO // SA B. 4 điểm I, O, S và A đồng phẳng C. giao tuyến của mp (SAB) và mp(IBC) là Bx trong đó Bx // SA // IO D. (IBC) ∩ (SAC) = ID
Lời giải
- Xét tam giác SAC có I và O lần lượt là trung điểm của SC và AC nên OI là đường trung bình của tam giác. ⇒ SA // IO và 4 điểm S; A, I, O đồng phẳng ⇒ A và B đúng.
- Ta tìm giao tuyến của mp (SAB) và mp (IBC): ⇒ (SAB) ∩ (IBC) = Bx // SA // IO
Chọn D
Câu 6:
Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Tìm giao tuyến của mp (α) và (ABD)
A. Px // MN B. Px // AD C. Px // AC D. Px // BC
Lời giải
Chọn A.
Câu 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Chọn mệnh đề sai
A. (IBC) ∩ (SAD) = Ix // AB // CD B. Giao tuyến của (IBC) và (SAD) là đường trung bình của tam giác SAD. C. A và B cùng đúng hoặc cùng sai. D. A đúng, B sai
Lời giải
Ta tìm giao tuyến của mp (IBC) và (SAD).
Chọn D
Câu 8:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O , I là trung điểm cạnh SC. Chọn mệnh đề sai?
A. IO // SA B. 4 điểm I, O, S và A đồng phẳng C. giao tuyến của mp (SAB) và mp(IBC) là Bx trong đó Bx // SA // IO D. (IBC) ∩ (SAC) = ID
Lời giải
Ta tìm giao tuyến của mp (SAB) và mp (IBC).
Chọn D
Câu 9:
Cho tứ diện ABCD và M là điểm ở trên cạnh AC. Mặt phẳng (α) qua và M song song với AB và CD. Tìm giao tuyến của mp (α) và (ABD)
A. Qua D và song song GJ B. Qua A và song song AB C. Qua D và song song GA D. Qua J và song song AB
Lời giải
Ta tìm giao tuyến của mp (α) và mp (ABD).
Chọn A
Đây là một số ví dụ về cách tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng chứa 2 đường thẳng song song. Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cần thiết để giải quyết các bài tập tương tự.
