Một trong những khái niệm quan trọng trong hình học không gian là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. Việc tính toán khoảng cách này cần sử dụng phương pháp giải đúng và chi tiết để đảm bảo kết quả chính xác.
A. Phương pháp giải
TH1: Dựng đường thẳng AH // (α).
Lúc đó: d(A, (α)) = d(H, (α))
TH2: Dựng đường thẳng AH, AH ∩ (α) = {I}.
Lúc đó:
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1:
Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD = 2a; SA = a. Khoảng cách từ B đến (SCD) bằng:
Hướng dẫn giải
Ta có; AB // CD nên d(B, (SCD))= d(A; (SCD)). Ta tính khoảng cách từ A đến (SCD) :
SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ CD; AD ⊥ CD Suy ra (SAD) ⊥ CD Trong (SAD) kẻ AH vuông góc SD tại H . Khi đó AH ⊥ (SCD) Chọn đáp án C
Ví dụ 2:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng 2a và khoảng cách từ S đến mặt phẳng đáy bằng a√3. Tính khoảng cách từ A đến mp (SBC)
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ví dụ 3:
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC cân tại A, AB = AC = a, ∠BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC. Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy một góc α sao cho tanα = 3/√7. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn B
Ví dụ 4:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SMN) tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ví dụ 5:
Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm I, AB = a, BC = a√3, tam giác SAC vuông tại S. Hình chiếu vuông góc của S xuống mặt phẳng đáy trùng với trung điểm H của đoạn AI. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) tính theo a bằng
Hướng dẫn giải
Chọn A
C. Bài tập vận dụng
Câu 1:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a tâm O; hình chiếu vuông góc của S trên (ABCD) là trung điểm của AO góc giữa (SCD) và (ABCD) là 60°. Khoảng cách từ trọng tâm của tam giác SAB đến mặt phẳng (SCD) tính theo a bằng
Lời giải:
Chọn D
Ta có:
Câu 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; AD và DC. Gọi H là giao điểm của CN và DM biết SH vuông góc (ABCD), SH = a√3. Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBP) tính theo a bằng
Lời giải:
Ta chứng minh: NC ⊥ MD
Thật vậy: ΔADM = ΔDCM vì ∠A = ∠D = 90°; AD = DC; AM = DN ⇒ ∠ADM = ∠DCN
Mà ∠ADM + ∠MDC = 90° ⇒ ∠MDC + ∠DCN = 90° ⇒ NC ⊥ MD
Chọn C
Câu 3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm I với AB = 2a√3; BC = 2a. Biết chân đường cao M hạ từ đỉnh S xuống đáy ABCD trùng với trung điểm đoạn DI và SB hợp với mặt phẳng đáy (ABCD) một góc 60°. Khoảng cách từ D đến (SBC) tính theo a bằng
Lời giải:
-
Từ giả thiết suy ra: SM ⊥ (ABCD) và góc giữa SB tạo với mặt phẳng (ABCD) là
-
Ta có:
Chọn đáp án C
Câu 4:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBM) bằng
Lời giải:
-
Do đáy ABCD là hình vuông nên AN ⊥ BM.
-
Góc giữa mặt phẳng (SBM) và mặt phẳng (ABCD) là góc ∠AIS = 45° .
Vậy tam giác ASI vuông cân tại A nên AI = SA = a
- Xác định khoảng cách: Vì M là trung điểm của AD nên d(D; (SBM))= d(A; (SBM)) = AH
Với H là chân đường cao hạ từ A của tam giác SAI.
Chọn đáp án D
Câu 5:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a. Gọi M là trung điểm của CD. Khoảng cách từ M đến (SAB) nhận giá trị nào trong các giá trị sau?
- a
- a/2
- a√2
Lời giải: Ta có: DM // AB nên DM // mp (SAB) ⇒ d( M; (SAB)) = d( D; (SAB))
Ta có: SA ⊥ AD (vì SA vuông góc với (ABCD)) Và AB ⊥ AD (vì ABCD là hình vuông) ⇒ AD ⊥ (SAB)
Do đó d(M, (SAB)) = d(D, (SAB)) = a
Chọn đáp án D
Săn SALE Shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Với những đợt sale như vậy, hãy nhanh tay săn những ưu đãi hấp dẫn để tiết kiệm chi phí mua sắm.
