Cải tiến công thức nguyên hàm lnx và cách giải các dạng bài tập

Khái niệm nguyên hàm lnx

Ta đã biết rằng hàm số $f(x)$ xác định trên K chính là nguyên hàm của hàm số $f(x)$ trên K nếu $f'(x)=f(x)$ với $x$ thuộc K. Áp dụng công thức này vào hàm số lnx, ta sẽ có cách tính như sau:

Đặt $u=lnx$ và $dv=dx$. Khi đó, ta có:

$du= \frac{1}{x}dx$ và $v=x$

Dùng công thức tính nguyên hàm, ta có:

$\int lnxdx=xlnx-\int \frac{1}{x}dx=xlnx-x+C$

Bảng công thức nguyên hàm của ln(x)

Đối với hàm số ln(x), ta có một bảng công thức nguyên hàm cơ bản như sau:

Cách tính nguyên hàm lnx

3.1. Nguyên hàm ln(x+1)

Ví dụ 1: Giải phương trình tích phân $int_{1}^{2}ln(x+1)dx=aln3+bln2+c$, với a, b, c là các số nguyên. Tính S=a+b+c.

Giải:

Đặt $u=ln(x+1)$ và $dv=dx$. Khi đó, ta có:

$du= \frac{1}{x+1}dx$ và $v=x+1$

Áp dụng công thức tính nguyên hàm, ta có:

$\int{1}^{2}ln(x+1)dx= (x+1)ln(x+1)\left|{2}^{1}\right.-\int_{1}^{2}dx=3ln3-2ln2-1$

Như vậy, ta có a=3, b=-2, c=-1. Tính S=a+b+c=0

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số $B=x^2Inxdx$

Giải:

B=$\int x^{2}lnxdx=\int lnxd\left(\frac{x^{3}}{3}\right)$

$\frac{x^{3}}{3}lnx-\int \frac{x^{3}}{3}.d(lnx)=\frac{x^{3}}{3}lnx-\frac{x^{3}}{9}+C$

Nắm trọn kiến thức về nguyên hàm và các kiến thức Toán thi THPT Quốc Gia khác với bộ bí kíp độc quyền của VUIHOC ngay!

3.2. Nguyên hàm 1+ln/x

Ví dụ 1:

Tìm nguyên hàm J=$int \frac{(lnx+1)lnx}{(lnx+1+x)}dx$

Giải:

Ta có: J=$int \frac{lnx+1}{x(\frac{lnx+1}{x}+1)^{3}}.\frac{lnx}{x^{2}}dx$

Đặt $t=\frac{lnx+1}{x} \Rightarrow dt=\frac{lnx}{x^{2}}dx \Rightarrow J=int \frac{tdt}{(t+1)^{3}}=int [\frac{1}{(t+1)^{3}}-\frac{1}{(t+1)^{2}}]dt$

$=-\frac{1}{2(t+1)^{2}}+\frac{1}{t+1}+C$

$=-\frac{x^{2}}{2(lnx+1+x^{2})}+\frac{x}{lnx+x+1}+C$

Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của:

a) $\int x.2x dx$

b) $\int (x^2-1) ex dx$

Giải:

a) Đặt $u=x$ và $dv=2^{x}dx \Rightarrow du=dx$ và $v=\frac{2^{x}}{ln2}$

Ta có: $\int x2^{x}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\int \frac{2^{x}}{ln2}dx=\frac{x.2^{x}}{ln2}-\frac{2^{x}}{ln^{2}2}+C$

b) Đặt $u=x^{2}-1$ và $dv=e^{x}dx \Rightarrow du=2xdx$ và $v=e^{x}$

Khi đó: $\int f(x)dx=(x^2-1)ex-\int 2x.ex dx$

Đặt $u=2x$ và $dv=e^{x}dx \Rightarrow du=2dx$ và $v=e^{x}$

Ví dụ 3: Tìm tất cả các nguyên hàm của hàm số $f(x)=(3x^{2}+1).lnx$

A. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

B. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}+C$

C. $\int f(x)dx=x(x^{2}+1)lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

D. $\int f(x)dx=x^{3}lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C$

Giải:

Đặt $u=lnx$ và $dv=(3x^{2}+1)dx \Rightarrow du=\frac{1}{x}dx$ và $v=\int (3x^{2}+1)dx=x^{3}+x$

Khi đó $I=(x^{3}+x)lnx-\int (x^{3}+x)\frac{1}{x}dx=x(x^{2}+1)lnx-\int (x^{2}+1)dx=x(x^{2}+1lnx-\frac{x^{3}}{3}-x+C.$

=> Đáp án là C.

3.3. Nguyên hàm của ln(ax+b)

Ví dụ 1:

Giải phương trình tích phân $In(2x^2+3)>In(x^2+ax+1)$ nghiệm đúng với mọi số thực khi?

Giải:

Ví dụ 2: Tính nguyên hàm:

a) $\int 2xln(x-1)dx$

b) $\int \frac{ln(x+1)}{x^{2}}$

Giải:

a) Đặt $u=ln(x-1)$ và $dv=2xdx \Rightarrow du=\frac{1}{x-1}dx$ và $v=x^{2}$

Ta có $\int 2xln(x-1)dx=(x^{2}-1)ln(x-1)-\int (x+1)dx$

b) Đặt $u=ln(1+x)$ và $dv=\frac{1}{x^{2}}dt \Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx$ và $v=\frac{1}{x}$

=>$\int f(x)dx=\frac{1+x}{x}.ln(1+x)+\int \frac{1}{x}dx$

=$-\frac{1+x}{x}ln(1+x)+ln|x|+C$

3.4. Nguyên hàm của ln(x^2+1)dx

Ví dụ 1:

Tính nguyên hàm I=$xIn(x^2+1)x2+1dx$

Giải:

Ví dụ 2:

Cho $\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=aln2+bln3$, với a và b là các số hữu tỉ. Tính P=ab

A. P=$\frac{3}{2}$

B. P=0

C. P=$-\frac{9}{2}$

D. P=-3

Giải:

Ta có I=$\int_{1}^{2}\frac{ln(1+x)}{x^{2}}dx=a\ ln2+b\ ln3$

Đặt $u=ln(1+x)$ và $dv=\frac{1}{x^{2}}dx \Rightarrow du=\frac{1}{1+x}dx$ và $v=-\frac{1}{x}$

Khi đó I=$-\frac{1}{2}ln3+ln2+\left[ln\frac{x}{x+1}\right]_{2}^{1}$

=$-ln3+ln2+2ln2-ln3=3ln2-\frac{3}{2}ln3$

Suy ra a=3, b=$-\frac{3}{2}$. Vậy P=$ab=\frac{-9}{2}$

Chọn đáp án C.

Ví dụ 3: Tìm nguyên hàm của ln(lnx)/x

Tính nguyên hàm $I=\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$ được kết quả nào sau đây?

Ví dụ 1: Tính nguyên hàm của hàm số $I=\int \frac{ln(lnx)}{x}dx$

Giải:

Đặt lnx=t => dt = $\frac{dx}{x}$

Suy ra I=$\int lntdt$

Đặt $u=lnt$ và $dv=dt \Rightarrow du=\frac{dt}{t}$ và $v=t$

Theo công thức tính nguyên hàm từng phần ta có:

I=$tlnt-\int dt=tlnt-t+C=lnx.ln(lnx)-lnx+C$

Ví dụ 2:

Cho I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx=aln3+bln2+\frac{c}{3}$ với a, b, c $in Z$. Khẳng định nào sau đây đúng.

A. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$

B. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=11$

C. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=9$

D. $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

Giải:

Ta có I=$\int_{1}^{e}\frac{lnx}{x(lnx+2)^{2}}dx$, đặt lnx+2=t $\Rightarrow \frac{dx}{x}=dt$

I=$\int{2}^{3}\frac{t-2}{t^{2}}dt=\int{2}^{3}\frac{1}{t}dt-2\int_{2}^{3}\frac{1}{t^{2}}dt$

=$lnt|{3}^{2}+\frac{2}{t}|{3}^{2}$

=$ln3-ln2+\frac{2}{3}-\frac{2}{2}=ln3-ln2-\frac{1}{3}$

Suy ra a=1,b=-1,c=-1

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{3}=3$

Bên cạnh đó, thầy Trường Giang đã có bài giảng cực hay về nguyên hàm tích phân cùng những tip giải bài tập rất hữu ích để giải đề thi THPT Quốc gia. Các em cùng xem trong video dưới đây nhé!

Sau bài viết này, hy vọng các em đã nắm chắc được toàn bộ lý thuyết, công thức về nguyên hàm ln(x), từ đó vận dụng hiệu quả vào bài tập. Để có thêm nhiều kiến thức hay em có thể truy cập ngay Vuihoc.vn để đăng ký tài khoản hoặc liên hệ trung tâm hỗ trợ để có được kiến thức tốt nhất chuẩn bị cho kỳ thi đại học sắp tới nhé!

Xem thêm:

• Phương pháp tính tích phân từng phần và ví dụ minh họa
• Đầy đủ và chi tiết bài tập phương trình logarit có lời giải
• Tuyển tập lý thuyết phương trình logarit cơ bản