Bài 41 (trang 128 SGK Toán 9 Tập 1): Chúng ta sẽ tìm hiểu về đường tròn và tứ giác AEHF.
Tìm hiểu về đường tròn
Đề bài cho biết có một đường tròn (O) có đường kính BC và dây AD vuông góc với BC tại điểm H.
Gọi E và F lần lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB, AC. Ta gọi (I) và (K) lần lượt là các đường tròn ngoại tiếp tam giác HBE và HCF.
Xác định vị trí tương đối của các đường tròn
Chúng ta cần xác định vị trí tương đối của các đường tròn: (I) và (O), (K) và (O), (I) và (K).
Ta nhận thấy rằng:
- (I) tiếp xúc trong với (O) vì OI = OB - IB.
- (K) tiếp xúc trong với (O) vì OK = OC - KC.
- (I) tiếp xúc ngoài với (K) vì IK = IH + KH.
Tứ giác AEHF là hình gì?
Theo đề bài, ta có:
- HE ⊥ AB tại E
- HK ⊥ AC tại F
- BAC^=90° (do A thuộc đường tròn đường kính BC)
Từ đó, ta suy ra tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
Chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC
Chúng ta cần chứng minh đẳng thức AE.AB = AF.AC.
- Xét tam giác ABH vuông tại H có HE là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH² = AE. AB.
- Xét tam giác ACH vuông tại H có HF là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: AH² = AF. AC.
Vậy, chúng ta có đẳng thức AE.AB = AF.AC (vì cùng bằng AH²).
Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K)
Ta cần chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
- Gọi M là giao điểm của AH và EF. Ta có: ME = MF = MH = MA (do AEHF là hình chữ nhật).
- Xét tam giác MEI và tam giác MHI có: ME = MH, IE = IH (cùng bằng bán kính đường tròn (I)), MI chung.
- Do đó, tam giác MEI và tam giác MHI bằng nhau (theo trường hợp cạnh - cạnh - cạnh) ⇒ MEI^ = MHI^.
- Mà AD vuông góc với BC tại H nên MHI^ = 90° ⇒ MEI^ = 90° ⇒ ME ⊥ EI tại E.
- Mà IE là bán kính đường tròn (I), nên ME hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (I).
- Ta cũng thấy: Xét tam giác MFH có: MF = MH (chứng minh trên). Do đó, tam giác MFH cân tại M ⇒ MHF^ = MFH^ (hai góc ở đáy) ⇒ MF ⊥ FK tại F.
- Mà KF là bán kính đường tròn (K), nên MF hay EF là tiếp tuyến của đường tròn (K).
- Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
Xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất
Chúng ta cần xác định vị trí của điểm H để EF có độ dài lớn nhất.
Cách 1:
- Do AEHF là hình chữ nhật nên ta có: EF = AH.
- Ta biết rằng nửa dây cung luôn nhỏ hơn hoặc bằng bán kính, nên ta có: AH ≤ AO.
- Vậy, EF ≤ AO = R (với R là bán kính của đường tròn (O)).
- Dấu bằng xảy ra khi H trùng với O.
- Vậy, khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Cách 2:
- EF = AH = AD/2.
- Do đó, EF lớn nhất khi AD lớn nhất. Khi đó, dây AD là đường kính.
- Vậy, khi dây AD vuông góc với BC tại O thì EF có độ dài lớn nhất.
Nếu bạn quan tâm đến các bài ôn tập chương II khác, có thể tham khảo tại đây.
Câu hỏi ôn tập chương 2
- Thế nào là đường tròn ngoại tiếp một tam giác?
- Thế nào là đường tròn nội tiếp một tam giác?
Các bài giải Toán 9 Tập 1 Chương 2 khác:
- Ôn tập chương II
- Tiếp theo: Toán 9 Tập 2 Chương 3
- Bài 1: Góc ở tâm. Số đo cung - Luyện tập (trang 69-70)
- Bài 2: Liên hệ giữa cung và dây
- Bài 3: Góc nội tiếp
- Bài 3: Góc nội tiếp - Luyện tập (trang 75-76)
Nếu bạn muốn xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác, có thể tham khảo tại đây.
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán, Văn, Anh lớp 9 có đáp án.
Note: This article is a unique adaptation and translation of the original content. It retains the main ideas while incorporating fresh insights and a conversational tone to make it engaging for the Vietnamese audience.
