Trong không gian OXYZ, hệ tọa độ không gian được định nghĩa bởi ba trục Ox, Oy, Oz, vuông góc từng đôi một và có gốc tọa độ O. Các mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx đóng vai trò quan trọng trong việc xác định vị trí và tính toán trong không gian ba chiều.
Các khái niệm và tính chất
Khái niệm mở đầu
Trong hệ tọa độ không gian Oxyz, ba trục Ox, Oy, Oz vuông góc từng đôi một và gốc tọa độ O được xác định. Các mặt tọa độ Oxy, Oyz, Ozx cũng được sử dụng trong không gian ba chiều.
Khái niệm về hệ trục tọa độ
Hệ tọa độ không gian Oxyz được sử dụng để xác định vị trí của các điểm trong không gian ba chiều. Hệ tọa độ này cho phép ta biểu diễn các véc tơ và tính toán các phép toán trên chúng.
Tọa độ véc tơ
Tọa độ véc tơ được sử dụng để xác định vị trí và hướng của một véc tơ trong không gian ba chiều. Tọa độ véc tơ được biểu diễn bởi các thành phần a, b, c.
Tọa độ điểm
Tọa độ điểm được sử dụng để xác định vị trí của một điểm trong không gian ba chiều. Tọa độ điểm được biểu diễn bởi các giá trị x, y, z.
Các công thức tọa độ cần nhớ
Có một số công thức cần nhớ khi làm việc với tọa độ trong không gian ba chiều:
- Điều kiện bằng nhau của hai véc tơ: a = a', b = b', c = c'
- Phép nhân tỉ lệ của một véc tơ: k véc tơ u = (k a, k b, k c)
- Tích vô hướng của hai véc tơ: u.v = |u| |v| cos(u, v) = aa' + bb' + cc'
- Độ lớn của véc tơ u: |u| = sqrt(a^2 + b^2 + c^2)
- Hai véc tơ vuông góc: u ⊥ v ⇔ u.v = 0
- Tọa độ của điểm A và B: AB = (∆x, ∆y, ∆z) = sqrt((xB - xA)^2 + (yB - yA)^2 + (zB - zA)^2)
Chia tỉ lệ đoạn thẳng
Khi điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k, ta có công thức tọa độ của M là:
xM = (k xB + (1 - k) xA) yM = (k yB + (1 - k) yA) zM = (k zB + (1 - k) zA)
Công thức trung điểm
Điểm trung điểm của đoạn thẳng AB có tọa độ là:
xM' = ((xA + xB)/2) yM' = ((yA + yB)/2) zM' = ((zA + zB)/2)
Công thức trọng tâm tam giác
Trọng tâm của tam giác ABC có tọa độ là:
xG = ((xA + xB + xC)/3) yG = ((yA + yB + yC)/3) zG = ((zA + zB + zC)/3)
Công thức trọng tâm tứ diện
Trọng tâm của tứ diện ABCD có tọa độ là:
xG = ((xA + xB + xC + xD)/4) yG = ((yA + yB + yC + yD)/4) zG = ((zA + zB + zC + zD)/4)
Tích có hướng 2 véc tơ
Tích có hướng của hai véc tơ u và v là:
[u, v] = |u| |v| sin(u, v)
Tính chất tích có hướng 2 véc tơ
Có một số tính chất quan trọng về tích có hướng của hai véc tơ:
- Tích có hướng [u, v] vuông góc với véc tơ u và v
- Độ lớn của tích có hướng [u, v] là |[u, v]| = |u| |v| sin(u, v)
- Tích có hướng [u, v] bằng không khi và chỉ khi hai véc tơ u và v cùng phương
Ứng dụng tích có hướng 2 véc tơ
Tích có hướng của hai véc tơ có thể được sử dụng trong nhiều ứng dụng khác nhau, bao gồm tính chất hình học của các hình học học và tính toán vị trí và hướng của các đối tượng trong không gian ba chiều.
Phương pháp giải một số bài toán thường gặp
Các phép toán về tọa độ của vectơ và của điểm
Để giải một số bài toán thường gặp, ta sử dụng các công thức về tọa độ của vectơ và của điểm trong không gian ba chiều. Ta cũng sử dụng các phép toán về vectơ trong không gian để giải quyết các bài toán này.
Xác định điểm trong không gian, chứng minh tính chất hình học, diện tích - Thể tích
Để xác định vị trí của một điểm trong không gian ba chiều và chứng minh tính chất hình học của nó, ta sử dụng các công thức về tọa độ của vectơ và của điểm trong không gian. Ta cũng tính toán diện tích và thể tích của các hình học trong không gian ba chiều bằng cách sử dụng các công thức đã biết và tính chất hình học của chúng.
Mặt phẳng
Mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong không gian ba chiều. Có nhiều cách để biểu diễn một mặt phẳng và tính toán các phép toán trên chúng.
Những trường hợp riêng của phương trình tổng quát
Phương trình tổng quát của một mặt phẳng được định nghĩa bởi Ax + By + Cz + D = 0. Có một số trường hợp riêng của phương trình tổng quát này:
- Mặt phẳng đi qua gốc tọa độ: D = 0
- Mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oxy: A = B = 0
- Mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Oyz: B = C = 0
- Mặt phẳng song song hoặc trùng với mặt phẳng Ozx: A = C = 0
- Mặt phẳng song song hoặc chứa trục Ox: A = 0
- Mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oy: B = 0
- Mặt phẳng song song hoặc chứa trục Oz: C = 0
- Mặt phẳng cắt Ox tại điểm A(a, 0, 0), cắt Oy tại điểm B(0, b, 0) và cắt Oz tại điểm C(0, 0, c): phương trình của mặt phẳng là (x/a) + (y/b) + (z/c) = 1 (a, b, c khác không)
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến một mặt phẳng (alpha): Ax + By + Cz + D = 0 là d(M, (alpha)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Chùm mặt phẳng
Chùm mặt phẳng là tập hợp tất cả các mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng (alpha) và (beta). Định nghĩa chùm mặt phẳng này cho phép ta xác định và tính toán các phép toán trên chùm mặt phẳng này.
Viết phương trình mặt phẳng
Để lập phương trình mặt phẳng (alpha), ta cần xác định một điểm thuộc (alpha) và một véc tơ pháp tuyến của nó.
Dạng 1
Để lập phương trình mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M(x0, y0, z0) có véc tơ pháp tuyến n = (A, B, C), ta có phương trình (alpha): A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Dạng 2
Để lập phương trình mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M(x0, y0, z0) có cặp véc tơ cơ sở a, b, ta có véc tơ pháp tuyến n = [a, b] là một véc tơ pháp tuyến của (alpha).
Dạng 3
Mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M(x0, y0, z0) và song song với mặt phẳng (beta): Ax + By + Cz + D = 0, ta có (alpha): A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
Dạng 4
Mặt phẳng (alpha) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C. Ta có véc tơ pháp tuyến n = [AB, AC] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 5
Mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng (d). Ta có véc tơ pháp tuyến n = [u, nbeta], với u là một véc tơ phương của đường thẳng (d) và nbeta là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (beta), là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 6
Mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (beta), (gamma). Ta có véc tơ pháp tuyến n = [ubeta, ngamma], với ubeta là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (beta) và ngamma là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (gamma), là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 7
Mặt phẳng (alpha) chứa đường thẳng cắt nhau dd1, dd2. Ta có véc tơ pháp tuyến n = [add1, add2] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 8
Mặt phẳng (alpha) chứa đường thẳng dd1 và song song với đường thẳng dd2 (dd1, dd2 chéo nhau). Ta có véc tơ pháp tuyến n = [add1, add2] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 9
Mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng cắt nhau (beta), (gamma). Ta có véc tơ pháp tuyến n = [a, b] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 10
Mặt phẳng (alpha) chứa một đường thẳng d và vuông góc với một mặt phẳng (beta). Ta có véc tơ pháp tuyến n = [u, nbeta], với u là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng d và nbeta là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (beta), là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 11
Mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M và vuông góc với hai mặt phẳng cắt nhau (beta), (gamma). Ta có véc tơ pháp tuyến n = [ubeta, ngamma] là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Dạng 12
Mặt phẳng (alpha) đi qua điểm M và cách điểm M một khoảng k cho trước. Ta có phương trình của mặt phẳng là Ax + By + Cz + D = 0 (với A^2 + B^2 + C^2 khác không), lấy hai điểm AB thuộc đường thẳng dd1 (ta có hai phương trình (1), (2)), điều kiện khoảng cách d(M, (alpha)) = k cho ta phương trình (3). Giải hệ phương trình (1), (2), (3) để tìm các giá trị của các ẩn.
Dạng 13
Mặt phẳng (alpha) là tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm H. Mặt cầu (S) có tâm I và bán kính R. Véc tơ pháp tuyến n = IH là một véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (alpha).
Vị trí tương đối của hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 và (P'): A'x + B'y + C'z + D' = 0, ta có các trường hợp vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
- (P) cắt (P'): A:B:C khác không
- (P) // (P'): A/A' = B/B' = C/C' khác (D/D')
- (P) ≡ (P'): A/A' = B/B' = C/C' = D/D'
- (P) ⊥ (P'): AA' + BB' + CC' = 0
Khoảng cách và hình chiếu
Khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Khoảng cách từ một điểm M(x0, y0, z0) đến mặt phẳng (alpha): Ax + By + Cz + D = 0 là d(M, (alpha)) = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song
Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên mặt phẳng này đến mặt phẳng kia.
Hình chiếu của một điểm lên mặt phẳng
Điểm H là hình chiếu của điểm M lên mặt phẳng (alpha) nếu véc tơ MH và véc tơ pháp tuyến n của mặt phẳng (alpha) cùng phương.
Điểm đối xứng của một điểm qua mặt phẳng
Điểm M' đối xứng với điểm M qua mặt phẳng (alpha) nếu véc tơ MM' = 2 * MH.
Góc giữa hai mặt phẳng
Cho hai mặt phẳng (alpha): Ax + By + Cz + D = 0 và (beta): A'x + B'y + C'z + D' = 0. Ta có các trường hợp vị trí tương đối của hai mặt phẳng:
- (alpha) cắt (beta) ⇔ A:B:C khác không
- (alpha) // (beta) ⇔ A/A' = B/B' = C/C' khác D/D'
- (alpha) ≡ (beta) ⇔ A/A' = B/B' = C/C' = D/D'
- (alpha) ⊥ (beta) ⇔ [nalpha, nbeta] = 0 ⇔ AA' + BB' + CC' = 0
Đó là những kiến thức cơ bản về hệ trục tọa độ trong không gian OXYZ. Hi vọng rằng bạn đã hiểu được và thấy thú vị khi khám phá các khái niệm và tính chất của hệ trục tọa độ trong không gian ba chiều.
