Hình 1: Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax^2 + bx + c với các hệ số biến đổi
Trong đại số, phương trình bậc hai là một phương trình có dạng: ax^2 + bx + c = 0. Trong phương trình này, x là ẩn số chưa biết và a, b, c là các số đã biết sao cho a khác 0. Các số a, b, và c được gọi là hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng hệ số bậc hai, hệ số bậc một, và hằng số hay hệ số tự do.
Vì phương trình bậc hai chỉ có một ẩn nên nó được gọi là phương trình "đơn biến". Phương trình bậc hai chỉ chứa lũy thừa của x là các số tự nhiên, bởi vậy chúng là một dạng phương trình đa thức, cụ thể là phương trình đa thức bậc hai do bậc cao nhất là hai.
Các cách giải phương trình bậc hai phổ biến là nhân tử hóa (phân tích thành nhân tử), phương pháp phần bù bình phương, sử dụng công thức nghiệm hoặc đồ thị. Giải pháp cho các vấn đề tương tự phương trình bậc hai đã được con người biết đến từ năm 2000 trước Công Nguyên.
Giải phương trình bậc hai
Hình 2: Đồ thị của hàm số bậc hai y = ax^2 + bx + c với mỗi hệ số biến đổi trong khi các hệ số khác giữ nguyên
Một phương trình bậc hai với các hệ số thực hoặc phức có hai đáp số, gọi là các nghiệm. Hai nghiệm này có thể phân biệt hoặc không, và có thể là thực hoặc không.
Phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra
Phương trình bậc hai ax^2 + bx + c = 0 có thể viết được thành (px + q)(rx + s) = 0. Trong một vài trường hợp, điều này có thể thực hiện bằng một bước xem xét đơn giản để xác định các giá trị p, q, r, và s sao cho phù hợp với phương trình đầu. Sau khi đã viết được thành dạng này thì phương trình bậc hai sẽ thỏa mãn nếu px + q = 0 hoặc rx + s = 0. Giải hai phương trình bậc nhất này ta sẽ tìm ra được nghiệm.
Với hầu hết học sinh, phân tích thành nhân tử bằng cách kiểm tra là phương pháp giải phương trình bậc hai đầu tiên mà họ được tiếp cận. Nếu phương trình bậc hai ở dạng x^2 + bx + c = 0 (a = 1) thì có thể tìm cách phân tích vế trái thành (x + q)(x + s), trong đó q và s có tổng là -b và tích là c (đây đôi khi được gọi là "quy tắc Viet"). Ví dụ, x^2 + 5x + 6 viết thành (x + 3)(x + 2). Trường hợp tổng quát hơn khi a ≠ 1 đòi hỏi nỗ lực lớn hơn trong việc đoán, thử và kiểm tra; giả định rằng hoàn toàn có thể làm được như vậy.
Trừ những trường hợp đặc biệt như khi b = 0 hay c = 0, phân tích bằng kiểm tra chỉ thực hiện được đối với những phương trình bậc hai có nghiệm hữu tỉ. Điều này có nghĩa là đa phần các phương trình bậc hai phát sinh trong ứng dụng thực tiễn không thể giải được bằng phương pháp này.
Phần bù bình phương
Hình 3: Đồ thị hàm số bậc hai y = x^2 - x - 2. Các hoành độ giao điểm của đồ thị với trục hoành x = -1 và x = 2 là nghiệm của phương trình bậc hai x^2 - x - 2 = 0.
Trong quá trình hoàn thành bình phương ta sử dụng hằng đẳng thức:
x^2 + 2hx + h^2 = (x + h)^2,
Như vậy, ta có:
(x + b/2a)^2 = (x^2 + (b/a)x = c/a)
một thuật toán rạch ròi có thể áp dụng để giải bất kỳ phương trình bậc hai nào. Bắt đầu với phương trình bậc hai dạng tổng quát ax^2 + bx + c = 0, ta có:
- Chia hai vế cho a, hệ số của ẩn bình phương.
- Trừ c/a mỗi vế.
- Thêm bình phương của một nửa b/a, hệ số của x, vào hai vế, vế trái sẽ trở thành bình phương đầy đủ.
- Viết vế trái thành bình phương của một tổng và đơn giản hóa vế phải nếu cần thiết.
- Khai căn hai vế thu được hai phương trình bậc nhất.
- Giải hai phương trình bậc nhất.
a x^2 + b c + c = 0
⇔ a x^2 + b x = − c
⇔ x^2 + b a x = − c a
⇔ ( x + b 2 a )^2 = − 4 a c + b 2 4 a 2
⇔ ( x + b 2 a )^2 = − 4 a c + b 2 4 a 2
⇔ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a
⇔ ( x + b 2 a )^2 = b^2 − 4 a c 4 a 2
⇔ ( x + b 2 a )^2 = b 2 − 4 a c 4 a 2
⇔ x + b 2 a = ± b 2 − 4 a c 2 a
⇔ x = − b ± b 2 − 4 a c 2 a
Tiếp theo là ví dụ minh họa việc sử dụng thuật toán này. Giải phương trình 2 x^2 + 4 x − 4 = 0
Đây là lời giải.
⇔ x^2 + 2 x − 2 = 0
⇔ x^2 + 2 x = 2
⇔ x^2 + 2 x + 1 = 2 + 1
⇔ ( x + 1 )^2 = 3
⇔ x + 1 = ± 3
⇔ x = − 1 ± 3
Dấu cộng-trừ "±" biểu thị rằng cả x = −1 + √3 và x = −1 − √3 đều là nghiệm của phương trình.
Giới thiệu
Phương trình bậc hai là một trong những khái niệm quan trọng trong đại số. Nó giúp chúng ta giải quyết các vấn đề phức tạp và tìm ra các giá trị của ẩn. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phương trình bậc hai và phương pháp giải nó. Chúng ta sẽ khám phá công thức nghiệm tổng quát và các trường hợp nhận biết đặc biệt của phương trình bậc hai. Cùng tiếp tục đọc để tìm hiểu thêm.
Phương trình bậc hai
Phương trình bậc hai là một phương trình đại số có dạng ax^2 + bx + c = 0, trong đó a, b, và c là các hằng số đã biết và x là ẩn số chưa biết. Phương trình bậc hai có thể có một hoặc hai nghiệm, phụ thuộc vào giá trị của biểu thức delta (Δ = b^2 - 4ac). Công thức nghiệm tổng quát cho phương trình bậc hai là:
x = (-b ± √Δ) / 2a
Trong đó, ± biểu thị cho cả hai nghiệm, Δ là biểu thức delta và a, b, c là các hằng số của phương trình.
Phương trình bậc hai có nhiều ứng dụng trong thực tế, bao gồm vật lý, toán học, kỹ thuật và các lĩnh vực khác. Để giải phương trình bậc hai, chúng ta có thể sử dụng các phương pháp như nhân tử hóa, phương pháp phần bù bình phương, công thức nghiệm tổng quát hoặc đồ thị.
Trong thực tế, phương trình bậc hai được sử dụng trong rất nhiều lĩnh vực, bao gồm quy hoạch chi tiết, đường băng, mô phỏng hệ thống, xác suất và thống kê, vật lý cơ bản và nhiều hơn nữa. Việc hiểu và áp dụng phương trình bậc hai là một kỹ năng quan trọng trong nhiều ứng dụng khác nhau và có thể tăng cường khả năng giải quyết vấn đề của bạn trong cuộc sống hàng ngày.
