Quy tắc tính đạo hàm và bài tập vận dụng

Giới thiệu

Bạn đã từng gặp khó khăn khi tính đạo hàm của một hàm số? Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về quy tắc tính đạo hàm và cách áp dụng chúng vào các bài tập.

Quy tắc tính đạo hàm chung

• Cho hàm số u = u(x) và v = v(x), với u và v khác 0 trên khoảng J. Khi đó, ta có:

  (u ± v)' = u' ± v'
  (u · v)' = u' · v + u · v' 
  (u / v)' = (u'v - uv') / v^2

  Hệ quả:

  (1 / u)' = - u' / u^2

Quy tắc tính đạo hàm của một số hàm số

2.1 Quy tắc tính đạo hàm hàm số cơ bản

(c)' = 0
(x)' = 1
(x^a)' = a · x^(a-1)
(sqrt(x))' = 1 / (2 · sqrt(x))
(sqrt[n](x))' = 1 / (n · sqrt[n](x^(n-1)))
(sin(x))' = cos(x)
(cos(x))' = -sin(x)
(tan(x))' = 1 / cos^2(x)
(cot(x))' = -1 / sin^2(x)

2.2 Quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp

(u^a)' = a · u^(a-1) · u'
(sqrt(u))' = 1 / (2 · sqrt(u)) · u'
(sqrt[n](u))' = u' / (n · sqrt[n](u^(n-1)))
(sin(u))' = u' · cos(u)
(cos(u))' = -u' · sin(u)
(tan(u))' = u' / cos^2(u)
(cot(u))' = -u' / sin^2(u)

Các dạng bài tập đạo hàm

3.1 Dạng bài tính đạo hàm bằng định nghĩa

a. Phương pháp:

• Áp dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số
• Ghi nhớ công thức sau: f'(x) = lim_(x→x_o) (f(x) - f(x_o)) / (x - x_o)

b. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số f(x) = 2x^2 + x + 1. Hãy tính f'(2)?

Ta có:

f'(2) = lim_(x→2) (f(x) - f(2)) / (x - 2) = lim_(x→2) (2x^2 + x + 1 - 11) / (x - 2) = lim_(x→2) (x - 2)(2x + 5) / (x - 2) = lim_(x→2) (2x + 5) = 9

Bài 2: Cho hàn số y = sqrt(3 - 2x). Hãy tính y'(-3).

Ta có:

y'(-3) = lim_(x→-3) (y(x) - y(-3)) / (x + 3) = lim_(x→-3) (sqrt(3 - 2x) - 3) / (x + 3) = lim_(x→-3) (-6 - 2x) / ((x + 3)(sqrt(3 - 2x) + 3)) = -1/3

3.2 Dạng bài áp dụng các quy tắc tính đạo hàm

a. Phương pháp:

• Áp dụng quy tắc tính đạo hàm để giải quyết bài toán toán

b. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm đạo hàm của hàm số y = 5x^2(3x - 1).

Ta có: y' = [5x^2(3x - 1)]' = (5x^2)'(3x - 1)' + 5x^2(3x - 1)' = 45x^2 - 10x

Bài 2: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x^7 + x)^2.

Ta có: y' = [(x^7 + x)^2]' = 2(x^7 + x)(7x^6 + 1) = 14x^13 + 16x^7 + 2x

Bài 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (2x + 1)/(x + 1).

Ta có:

y' = ((2x + 1)'(x + 1) - (x + 1)'(2x + 1)) / (x + 1)^2 = (2(x + 1) - (2x + 1)) / (x + 1)^2 = 1 / (x + 1)^2

Bài 4: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

• y = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1
• y = x^3 + sqrt(x)
• y = cos^2(x) + sin^2(x)
• y = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1

Kết luận

Quy tắc tính đạo hàm là công cụ quan trọng để giải các bài toán liên quan đến đạo hàm. Nắm vững kiến thức này sẽ giúp bạn giải các dạng bài tập toán một cách nhanh chóng và chính xác. Hy vọng rằng thông qua bài viết này của VUIHOC, bạn đã hiểu rõ hơn về quy tắc tính đạo hàm và cách áp dụng chúng vào các bài tập. Chúc bạn học tập hiệu quả và thành công trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm.