Đối với các bạn học sinh, tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm là một dạng toán thường gặp trong các bài kiểm tra môn Toán lớp 9 cũng như đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các bạn nắm chắc kiến thức phần này, VnDoc đã chuẩn bị cho các bạn chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Qua đó, bạn có thể ôn tập kiến thức, chuẩn bị cho các bài kiểm tra học kì và đề thi vào lớp 10 một cách hiệu quả nhất. Hãy cùng tìm hiểu chi tiết chuyên đề này!
I. Kiến thức cần nhớ khi làm dạng bài tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
- Cách làm bài toán như sau:
- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2 (thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)
- Áp dụng hệ thức Vi-ét để biến đổi biểu thức nghiệm đã cho theo m
- Một số bất đẳng thức thường dùng:
- Với mọi A ≥ 0: A² ≥ 0; sqrt(A) ≥ 0
- Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si): với a, b là các số dương ta có: a + b ≥ 2sqrt(ab)
II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1: Cho phương trình bậc hai x² + 2(m+1)x + m² - m + 1 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x₁² + x₂² + x₁x₂
Lời giải:
Ta có: ∆' = b'² - ac = (m + 1)² - (m² - m + 1) = m² + 2m + 1 - m² + m - 1 = -m
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ ⇔ -m > 0 ⇔ m < 0
Vậy với m < 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: x₁ + x₂ = -2(m + 1), x₁x₂ = m² - m + 1
Có A = x₁² + x₂² + x₁x₂ = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂
A = [-2(m + 1)]² - (m² - m + 1) A = 4(m + 1)² - m² + m - 1 A = 4m² + 8m + 4 - m² + m - 1 A = 3m² + 9m + 3 A = (m² + 3m + 1)
Có (m² + 3m + 1) = (m² + 2×(3/2)×m + (9/4)) - (9/4) + 1 = (m + 3/2)² - 5/4
(m + 3/2)² ≥ 0 ∀ m < 0 Leftrightarrow (m + 3/2)² - 5/4 ≥ -5/4 ∀ m < 0
Leftrightarrow 3[ (m + 3/2)² - 5/4 ] ≥ -15/4 ∀ m < 0
Dấu "=" xảy ra ⇔ m + 3/2 = 0 Leftrightarrow m = -3/2
Vậy min A = -15/4 Leftrightarrow m = -3/2
Bài 2: Cho phương trình x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất
Lời giải:
Ta có ∆' = (m + 4)² - (m² - 8) = m² + 8m + 16 - m² + 8 = 8m + 24
Để phương trình có hai nghiệm phân biệt ⇔ 8m + 24 > 0 ⇔ m > -3
Vậy với m > -3 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn hệ thức Vi-ét: x₁ + x₂ = 2(m + 4), x₁x₂ = m² - 8
Có B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ = 2(m + 4) - 3(m² - 8)
= -3m² + 2m + 32 = -3(m² + 2×(1/3)×m + (1/9)) + (97/3) = -3(m + 1/3)² + (97/3)
(m + 1/3)² ≥ 0 ∀ m > -3 Leftrightarrow -3(m + 1/3)² ≤ 0 ∀ m > -3
Leftrightarrow -3(m + 1/3)² + (97/3) ≤ (97/3) ∀ m > -3
Dấu "=" xảy ra ⇔ m + 1/3 = 0 Leftrightarrow m = -1/3
Vậy max B = 97/3 Leftrightarrow m = -1/3
Bài 3: Cho phương trình bậc hai ẩn số x: x² - 2(m + 1)x + m - 4 = 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M = |x₁ - x₂|
Có ∆' = (m + 1)² - (m - 4) = m² + 2m + 1 + m - 4 = m² + 3m + 5
= (m² + 2×(3/2)×m + (9/4)) + (11/4) = (m + 3/2)² + (11/4) > 0 ∀ m
Vậy với mọi m phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ thỏa mãn hệ thức Vi-ét: x₁ + x₂ = 2(m + 1), x₁x₂ = m - 4
Có M = |x₁ - x₂| M² = (x₁ - x₂)² = x₁² + x₂² - 2x₁x₂
M² = (x₁ + x₂)² - 4x₁x₂ = [2(m + 1)]² - 4(m - 4)
= 4(m² + 2m + 1) - 4m + 16 = 4m² + 8m + 4 - 4m + 16 = 4m² + 4m + 20 = 4(m² + m + 5)
Có (m² + m + 5) = (m² + 2×(1/2)×m + (1/4)) - (1/4) + 5 = (m + 1/2)² + (19/4)
(m + 1/2)² ≥ 0 ∀ m Leftrightarrow (m + 1/2)² + (19/4) ≥ 19/4 ∀ m Leftrightarrow 4[ (m + 1/2)² + 19/4 ] ≥ 19 ∀ m
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m + 1/2 = 0 Leftrightarrow m = -1/2
Vậy min M = √19 Leftrightarrow m = -1/2
III. Bài tập tự luyện về bài toán tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm
Bài 1: Cho phương trình x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (m tham số) a, Tìm m để biểu thức A = x₁² + x₂² - x₁ - x₂ đạt giá trị nhỏ nhất b, Tìm m để biểu thức B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất
Bài 2: Cho phương trình x² + mx - m - 2 = 0 (x là ẩn số, m là tham số). Tìm m để biểu thức A = x₁² + x₂² - 4x₁x₂ đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3: Cho phương trình x² - 2(m + 2)x + 6m + 3 = 0 (x là ẩn, m là tham số). Tìm giá trị của m để biểu thức A = x₁²x₂ + x₁x₂² có giá trị nhỏ nhất
Bài 4: Cho phương trình x² - 2(m + 4)x + m² - 8 = 0 (x là ẩn, m là tham số) a, Tìm m để biểu thức A = x₁² + x₂² - x₁x₂ đạt giá trị nhỏ nhất b, Tìm m để biểu thức B = x₁ + x₂ - 3x₁x₂ đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Cho phương trình x² - mx + m - 1 (m là tham số). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = (2x₁x₂ + 3) / (x₁² + x₂² + 2(x₁x₂ + 1))
Bài 6: Gọi x₁, x₂ là nghiệm của phương trình 2x² - 2mx + m² - 2 = 0. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = |2x₁x₂ + x₁ + x₂ - 4|
Bài 7: Cho phương trình bậc hai x² - (2m + 1)x + m - 3 = 0. Tìm giá trị của m để biểu thức B = x₁x₂ - x₁² - x₂² đạt giá trị lớn nhất
Đó là những kiến thức và bài tập cơ bản về chuyên đề Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm. Hy vọng rằng thông qua tài liệu này, các bạn học sinh có thể nắm vững kiến thức cần thiết và áp dụng thành thạo vào giải các bài tập liên quan. Ngoài ra, VnDoc cũng đã sưu tầm và chọn lọc nhiều đề thi học kì 2 các môn Toán, Văn, Anh, Lý, Hóa,... và các đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán để các bạn tham khảo và rèn luyện kỹ năng giải đề. Chúc các bạn học tập tốt!
