Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên

Tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên là dạng bài thường xuất hiện trong các đề thi Toán lớp 9 cũng như tuyển sinh vào lớp 10. Để giúp các em học sinh nắm vững dạng Toán này, VnDoc gửi tới các bạn tài liệu Tìm giá trị x nguyên để A nhận giá trị nguyên, kèm ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Tài liệu này sẽ giúp các em làm quen với các dạng bài tập tìm x, từ đó nâng cao kỹ năng giải bài để chuẩn bị tốt cho kì thi vào lớp 10 sắp tới. Dưới đây là nội dung chi tiết, mời các em cùng tham khảo nhé.

I. Cách tìm giá trị của x để biểu thức nguyên

1. Dạng 1: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

• Thông thường biểu thức A sẽ có dạng trong đó f(x) và g(x) là các đa thức và g(x) ≠ 0
• Cách làm:
  • Bước 1: Tách về dạng trong đó m(x) là một biểu thức nguyên khi x nguyên và k có giá trị là số nguyên
  • Bước 2: Để A nhận giá trị nguyên thì nguyên hay nghĩa là g(x) thuộc tập ước của k
  • Bước 3: Lập bảng để tính các giá trị của x
  • Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp, sau đó kết luận bài toán

2. Dạng 2: Tìm giá trị của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên

• Đây là một dạng nâng cao hơn của dạng bài tập tìm giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên bởi ta chưa xác định giá trị của biến x có nguyên hay không để biến đổi biểu thức A về dạng . Bởi vậy, để làm được dạng bài tập này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
  • Bước 1: Áp dụng điều kiện cùng với các bất đẳng thức đã được, chứng minh trong đó m, M là các số nguyên
  • Bước 2: Trong khoảng từ m đến M, tìm các giá trị nguyên
  • Bước 3: Với mỗi giá trị nguyên ấy, tìm giá trị của biến x
  • Bước 4: Kết hợp với điều kiện đề bài, loại bỏ những giá trị không phù hợp rồi kết luận

II. Bài tập ví dụ tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của biến số x để biểu thức đã cho cũng có giá trị nguyên

a, b, c,

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, có điều kiện x ≠ 1

Để nhận giá trị nguyên thì ⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta có bảng:

x - 1 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3
-------|----|----|---|---|---
x     |0   |1   |2  |3  |4

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, có điều kiện x ≠ 1

Ta có:

Để nhận giá trị nguyên thì ⇔ x - 1 ∈ Ư(1) = {± 1}

Ta có bảng:

x - 1 | -1 |  0 | 1 
-------|----|----|---
x     | 0  | 1  | 2

Vậy với x ∈ {0; 2} thì biểu thức nhận giá trị nguyên

c, có điều kiện là x ≥ 0

Để nhận giá trị nguyên thì ⇔ sqrt x + 1 ∈ Ư(3) = {± 1; ± 3}

Ta có bảng:

sqrt x + 1   | -3 | -2 | -1 |  0 |  1 |  2 |  3
-------------|----|----|----|----|----|----|---
x            |  4 |  1 |  0 |  1 |  4 |  9 | 16

Vậy với x ∈ {0; 4} thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 2: Tìm giá trị của x để các biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, b,

Lời giải:

Bài toán thuộc vào dạng 1: tìm giá trị của x để biểu thức nhận giá trị nguyên. Cách làm cụ thể cho từng bài như sau:

a, có điều kiện x ≥ 0

Có . Suy ra ta có (1)

Lại có

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho có

(2)

Từ (1) và (2) ta có: mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên . Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, có điều kiện x ≥ 0

Có . Suy ra ta có (1)

Lại có ![frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} = frac{2}{{sqrt x + 1 + frac{1}{{sqrt x }}}}(https://nanado.edu.vn/uploads/images/blog/admin/2024/02/05/tim-gia-tri-x-nguyen-de-a-nhan-gia-tri-nguyen-1707120251.webp)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho có

![sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} \ge 2 \Rightarrow sqrt x + frac{1}{{sqrt x }} + 1 \ge 3 \Rightarrow frac{2}{{sqrt x + 1 + frac{1}{{sqrt x }}}} \le frac{2}{3}(https://nanado.edu.vn/uploads/images/blog/admin/2024/02/05/tim-gia-tri-x-nguyen-de-a-nhan-gia-tri-nguyen-1707120251.webp) (2)

Từ (1) va (2) ta có ![0 \le frac{{2sqrt x }}{{x + sqrt x + 1}} \le frac{2}{3}(https://nanado.edu.vn/uploads/images/blog/admin/2024/02/05/tim-gia-tri-x-nguyen-de-a-nhan-gia-tri-nguyen-1707120251.webp) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên . Giải phương trình được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

III. Bài tập tự luyện tìm giá trị của x để biểu thức có giá trị nguyên

Bài 1: Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức dưới đây nhận giá trị nguyên

a, b, c,

Lời giải:

Bài 1:

a, có điều kiện x ≠ 1

Để nhận giá trị nguyên thì ⇔ x - 1 ∈ Ư(2) = {± 1; ± 2}

Ta có bảng:

x - 1 | -2 | -1 | 1 | 2 | 3
-------|----|----|---|---|---
x     |0   |1   |2  |3  |4

Vậy với x ∈ {- 1; 0; 2; 3} thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, có điều kiện x ≠ -1

Ta có bảng:

sqrt x + 1 | -1 | 0 |  1 |  2 |  3 |  4
------------|----|---|----|----|----|----
  x         |  0 | 1 |  4 |  9 | 16 | 25

Vậy với x ∈ {0; 4; 9; 16; 25} thì biểu thức nhận giá trị nguyên

c, có điều kiện x ≠ 0

Ta có bảng:

x | -2 | -1 |  1 |  2 |  3 |  4
---|----|----|----|----|----|----
x  |  0 |  1 | -5 | -2 | -3 | -4

Vậy với x ∈ {-5; -2; -3; -4; 0; 1; 2; 3; 4} thì biểu thức nhận giá trị nguyên

Bài 2:

a, có điều kiện x ≥ 0

Có . Suy ra ta có (1)

Lại có ![frac{{7sqrt x }}{{x + sqrt x + 2}} = frac{7}{{sqrt x + frac{sqrt x + 2}{{sqrt x }}}}(https://nanado.edu.vn/uploads/images/blog/admin/2024/02/05/tim-gia-tri-x-nguyen-de-a-nhan-gia-tri-nguyen-1707120251.webp)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho có

![Rightarrow frac{7}{{sqrt x + frac{sqrt x + 2}{{sqrt x }}}}} \le frac{7}{2sqrt 3 }(https://nanado.edu.vn/uploads/images/blog/admin/2024/02/05/tim-gia-tri-x-nguyen-de-a-nhan-gia-tri-nguyen-1707120251.webp) (2)

Từ (1) va (2) ta có ![0 \le frac{{7sqrt x }}{{x + sqrt x + 2}} \le frac{7}{2sqrt 3 }(https://nanado.edu.vn/uploads/images/blog/admin/2024/02/05/tim-gia-tri-x-nguyen-de-a-nhan-gia-tri-nguyen-1707120251.webp) mà biểu thức nhận giá trị nguyên nên . Giải phương trình tính được x = 0

Vậy với x = 0 thì biểu thức nhận giá trị nguyên

b, có điều kiện x ≥ 0

Có ![x \ge 0 \Rightarrow left{ \begin{array}{l} 15sqrt x \ge 0\ x + sqrt x + 1 \ge 1 > 0 \end