Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước
Tìm m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện cho trước là một bài toán thường gặp trong chương trình toán lớp 12 và kỳ thi THPT Quốc Gia. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các dạng bài tập phổ biến nhất và cách giải chúng.
Biện luận m để hàm số bậc 3, hàm số trùng phương có cực trị [VerbaLearn.org]
Phương pháp
- Bước 1: Hàm số đạt cực đại (cực tiểu) tại điểm x0 thì f’(x0) = 0, tìm được tham số.
- Bước 2: Với giá trị tham số tìm được, ta thế vào hàm số ban đầu để kiểm tra lại.
Phân dạng bài tập
Dạng 1: Tìm m để hàm số có 3 cực trị
Phương pháp giải
Chú ý: Đối với hàm bậc ba, ta có thể làm trắc nghiệm như sau:
- Hàm số đạt cực tiểu tại x = x0 ⇔ f’(x0) = 0.
- Hàm số đạt cực đại tại x = x0 ⇔ f’(x0) = 0.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm m để hàm số đạt cực đại tại điểm x = 3.
A. m = -1. B. m = -5. C. m = 5. D. m = 1.
Hướng dẫn giải
Chọn C
Ta có y’ = x^2 - 2mx + m^2 - 4 ⇒ y’’ = 2x - 2m
Hàm số đạt cực đại tại x = 3 thì y’(3) = 0 ⇔ m^2 - 6m + 5 = 0 ⇔ (m - 1)(m - 5) = 0.
Với m = 1, y’’(3) = 2(3) - 2(1) = 4 > 0 suy ra x = 3 là điểm cực tiểu.
Với m = 5, y’’(3) = 2(3) - 2(5) = -4 < 0 suy ra x = 3 là điểm cực đại.
Câu 2. Hàm số y = ax^3 + x^2 - 5x + b đạt cực tiểu tại x = 1 và giá trị cực tiểu bằng 2, giá trị của H = 4a - b là
A. H = 1. B. H = -1. C. H = -2. D. H = 3.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = 3ax^2 + 2x - 5 ⇒ y’’ = 6ax + 2.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 ⇒ y’(1) = 0 ⇔ a = 1.
Thay a = 1 ta thấy y’’(1) = 6 + 2 = 8 > 0 nên x = 1 là điểm cực tiểu.
Mặt khác ta có: y(1) = 2 ⇔ 1 + 1 - 5 + b = 2 ⇔ b = 5
Vậy H = 4.1 - 5 = -1.
Câu 3. Hàm số f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1. Giá trị của biểu thức T = a + 2b - 3c + d là
A. T = 2 B. T = 3 C. T = 4 D. T = 0
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có f’(x) = 3ax^2 + 2bx + c.
Do hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0, f(0) = 0 và đạt cực đại tại điểm x = 1, f(1) = 1 nên ta có hệ phương trình
3a + c = 0 ⇔ c = -3a (1),
a + b + c + d = 1 (2).
Thay (1) vào (2) ta được
a + b - 3a + d = 1 ⇔ -2a + b + d = 1 (3).
T = a + 2b - 3c + d = a + 2b + 9a + d = 10a + 2b + d.
Mặt khác, ta có f(1) = 1 ⇔ a + b + c + d = 1 ⇔ 9a + b + 3a + d = 1 ⇔ 10a + 2b + d = 1.
Vậy T = 1.
Câu 4. Giá trị của m để hàm số y = x^3 + mx - 1 có cực đại và cực tiểu là
A. m ≥ 0 B. m ≤ 0 C. m > 0 D. m < 0
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Hàm số y = x^3 + mx - 1 có cực đại và cực tiểu khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt hay 3x^2 + m = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Do đó m < 0.
Chú ý: Do hàm bậc ba có đạo hàm là tam thức bậc hai nên có các yêu cầu sau: hàm số có cực trị, hàm số có cực đại và cực tiểu, hàm số có hai cực trị có cách làm giống nhau, tức là y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Câu 5. Với giá trị nào của m thì hàm số H10 có cực trị?
A. B. m < 1 C. D. m ≤ 1
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có y’ = mx^2 + 2x + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x^2 + x + 7, đồ thị là một parabol nên hiển nhiên có cực trị.
Vậy m = 0 thỏa mãn yêu cầu.
Xét m ≠ 0, để hàm số có cực trị thì y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ’ > 0
⇔ 1 - m > 0 ⇔ m < 1.
Hợp cả hai trường hợp, khi m < 1 thì hàm số có cực trị.
Chú ý: Với bài toán hỏi “có cực trị” và hệ số của bậc ba (bậc cao nhất) có chứa tham số thì nên chia hai trường hợp: Hệ số của bậc cao nhất bằng 0 và khác 0.
Câu 6. Tìm các giá trị của m để hàm số y = mx^3 - 3mx^2 - (m - 1) x + 2 không có cực trị.
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’ = 3mx^2 - 6mx - m + 1.
Với m = 0, hàm số trở thành y = x + 2 là hàm đồng biến trên ℝ nên không có cực trị, nhận m = 0.
Xét m ≠ 0, hàm số không có cực trị khi y’ = 0 có nghiệm kép hoặc vô nghiệm
⇔ Δ’ = 9m^2 - 3m (1 - m) ≤ 0 ⇔ 12m^2 - 3m ≤ 0 ⇔ .
Hợp cả hai trường hợp, khi thì hàm số không có cực trị.
Câu 7. Số giá trị nguyên của tham số m ∈ [-20; 20] để hàm số có hai điểm cực trị trái dấu là
A. 18 B. 17 C. 19 D. 16
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = (m - 1)x^2 + 2(m^2 - 4)x + (m^2 - 9).
Hàm số có hai điểm cực trị trái dấu khi y’ = 0 có hai nghiệm trái dấu
⇔ (m - 1)(m^2 - 9) < 0 ⇔ .
Vậy m ∈ {-20; -19; …; -4; 2}, có 18 giá trị của m.
Câu 8. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số y = mx^3 + m (m - 1) x^2 - (m + 1) x -1 có hai điểm cực trị đối nhau?
A. 0 B. 2 C. 1 D. 3
Hướng dẫn giải
Chọn C.
Ta có: y’= 3mx^2 + 2m (m - 1) x - (m + 1).
Hàm số có hai điểm cực trị đối nhau ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm đối nhau
⇔ ⇔ ⇔ m = 1.
Câu 9. Giá trị của m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương là
A. B. m < 1 C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = mx^2 + 2 (m - 1) x + m + 2.
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị có hoành độ dương ⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt dương
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ .
Câu 10. Cho hàm số y = x^3 + (1 - 2m) x^2 + (2 - m) x + m + 2. Các giá trị của m để đồ thị của hàm số có điểm cực đại, cực tiểu, đồng thời hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1 là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có: y’ = 3x^2 + 2 (1 - 2m) x + 2 - m.
Đồ thị hàm số có điểm cực đại, cực tiểu khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt
⇔ Δ’ = (1 - 2m)^2 - 3 (2 - m) > 0 ⇔ 4m^2 - m - 5 > 0 ⇔ .
Khi đó, giả sử x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của phương trình y’ = 0.
Bảng biến thiên
Khi đó, yêu cầu bài toán trở thành:
x2 < 1 ⇔ ⇔ .
Kết hợp điều kiện có cực trị thì m < -1 và thỏa mãn yêu cầu.
Chú ý: Có thể dùng Vi-ét để lời giải đơn giản hơn như sau:
Xét x1 < x2 < 1
⇔ ⇔ .
Vậy tổng cần tìm bằng 4 + (-2) = 2.
Dạng 2: Tìm m để hàm bậc 4 trùng phương có cực trị
Phương pháp giải
Xét hàm số y = ax^4 + bx^2 + c, (a ≠ 0), có đạo hàm là y’ = 4ax^3 + 2bx = 2x(2ax^2 + b).
- Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có đúng một nghiệm ⇔ ab ≥ 0.
- Đồ thị hàm số có đúng một điểm cực trị hoặc có ba điểm cực trị, và luôn có một điểm cực trị nằm trên trục tung.
- Đồ thị hàm số có ba cực trị:
- Nếu a > 0 hàm số có hai điểm cực tiểu và một điểm cực đại;
- Nếu a < 0 hàm số có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu.
- Chú ý rằng ba điểm cực trị của đồ thị hàm số luôn tạo thành một tam giác cân.
- Khi hàm số có một cực trị:
- a > 0 thì điểm cực trị là điểm cực tiểu;
- a < 0 thì điểm cực trị là điểm cực đại.
- Đồ thị hàm số có nhiều điểm cực trị nhất (bảy cực trị) khi đồ thị hàm số f(x) = ax^4 + bx^2 + c có ba điểm cực trị và đồ thị của nó cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
- Đồ thị hàm số có ít điểm cực trị nhất (một cực trị) khi đồ thị hàm số f(x) = ax^4 + bx^2 + c có một điểm cực trị và đồ thị của nó không có điểm chung hoặc chỉ tiếp xúc với trục hoành.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Có bao nhiêu số nguyên m ∈ [-20; 20] để đồ thị hàm số y = mx^4 + (m^2 - 9) x^2 + 1 có ba điểm cực trị?
A. 20 B. 19 C. 18 D. 17
Hướng dẫn giải
Chọn B.
Ta có: y’ = 4mx^3 + 2(m^2 - 9) x = .
y’ = 0 ⇔ (m^2 - 9)x = 0 ⇔ .
Hàm số có ba điểm cực trị khi và chỉ khi y’ = 0 có ba nghiệm phân biệt hay ⇔ ⇔ .
Vậy có 19 giá trị của m thỏa mãn đề bài.
Câu 2. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số y = x^4 + 3mx^2 - 4 có ba điểm cực trị phân biệt và hoành độ của chúng trong khoảng (-2; 2) là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y’ = 4x^3 + 6mx.
Cho y’ = 0 ⇔ 2x(2x^2 + 3m) = 0 ⇔ ⇔ ⇔ .
Câu 3. Biết rằng hàm số y = x^4 - 2(m^2 + 1) x^2 + 2 có điểm cực tiểu. Giá trị lớn nhất của cực tiểu là
A. 1 B. -1 C. 0 D. 2
Hướng dẫn giải
Ta có y’ = 4x^3 - 4(m^2 + 1) x ⇒ y’ = 0 ⇔ .
Rõ ràng phương trình y’ = 0 luôn có ba nghiệm phân biệt.
Lập bảng biến thiên, dễ thấy là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Giá trị cực tiểu là yCT = 2 - (m^2 + 1) = 1 - (m^4 + 2m^2) ≤ 1 (dấu “=” xảy ra khi m = 0).
Câu 4. Với giá trị nào của k thi hàm số y = kx^4 + (k - 1) x^2 + 1 - 2k chỉ có một cực trị?
A. 0 < k ≤ 1 B. 0 ≤ k ≤ 1 C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn D.
Với k = 0, hàm số trở thành y = -x^2 + 1 có đồ thị là một parabol nên có đúng một cực trị. Do đó k = 0 thỏa mãn đề bài.
Với k ≠ 0. Ta có y’ = 4kx^3 + 2(k - 1) x⇒ y’ = 2x(2kx^2 + k - 1).
Để thỏa mãn yêu cầu đề bài thì phương trình 2kx^2 + k - 1 = 0 vô nghiệm hoặc có nghiệm x = 0 ⇔ k(k -1) ≥ 0 ⇔ .
Kết hộ hai trường hợp ta được các giá trị cần tìm là hoặc k ≥ 1 hoặc k ≤ 0.
Chú ý: x = 0 là nghiệm của phương trình 2kx^2 + k - 1 = 0.
Câu 5. Giá trị của m để hàm số y = (m + 1)x^4 - 2mx^2 + 2 không có cực trị là
A. B. C. D.
Hướng dẫn giải
Chọn A.
Ta có y’ = 4(m + 1)x^3 - 4mx.
Đồ thị hàm số không có cực trị khi y’ = 0 không có nghiệm phân biệt hay 4(m + 1)x^3 - 4mx = 0 không có nghiệm phân biệt.
⇔ m(m + 1) ≥ nghiệm ⇔ .
Kết luận
Trên đây là một số dạng bài tập và cách giải để tìm m để hàm số có cực trị. Hi vọng qua bài viết này, bạn đã có thêm kiến thức để tự tin giải quyết các bài tập tương tự. Chúc bạn thành công!
