Một trong những bài toán quan trọng trong học toán lớp 9 là tìm m để phương trình trùng phương có 1, 2, 3 hoặc 4 nghiệm phân biệt. Bài viết này sẽ giúp bạn ôn tập và hiểu rõ cách giải bài toán này.
Phương pháp giải
Chúng ta có phương trình trùng phương dạng $ax^4 + bx^2 + c = 0$ với $a \neq 0$ (1)
Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $at^2 + bt + c = 0$ (2)
Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.
Để phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.
Để phương trình (1) có 3 nghiệm, phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.
Để phương trình (1) có 4 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Ví dụ 1: Cho phương trình $x^4 - 2(m + 4)x^2 + m^2 = 0$ (1). Tìm m để phương trình (1)
a. Có nghiệm
b. Có 1 nghiệm
c. Có 2 nghiệm phân biệt
d. Có 3 nghiệm phân biệt
e. Có 4 nghiệm phân biệt
Giải
Đặt $t = x^2$, khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 - 2(m + 4)t + m^2 = 0$ (2)
a. Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.
[ \Delta' = 8m + 16 = 0 \Rightarrow m = -2 ]
Với $m = -2$ thì phương trình (2) có nghiệm kép.
b. Để phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.
Vì $t = 0$ là nghiệm của phương trình (2), ta thay $t = 0$ vào (2) ta được:
[ m^2 = 0 \Rightarrow m = 0 ]
Với $m = 0$ thì phương trình (2) có dạng:
[ \Delta' = 16 \Rightarrow \Delta' > 0 ]
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 1 nghiệm.
c. Để phương trình (1) có 2 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.
[ \Delta' = 8m + 16 > 0 \Rightarrow m > -2 ]
Vậy với $m > -2$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
d. Để phương trình (1) có 3 nghiệm, phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.
Theo kết quả câu (b) ta có với $m = 0$ thì phương trình (2) có 2 nghiệm: t = 0, t = 8
Vậy với $m = 0$ thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
e. Để phương trình (1) có 4 nghiệm, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
[ \Delta' = 8m + 16 > 0 \Rightarrow m > -2 ]
Vậy với $m > -2$ và $m \neq 0$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Ví dụ 2: Tìm m để phương trình $(m - 1)x^4 + 2(m - 3)x^2 + m + 3 = 0$ (1) vô nghiệm
Giải
Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $(m - 1)t^2 + 2(m - 3)t + m + 3 = 0$ (2)
Nếu $m = 1$ thì phương trình (2) có dạng: $-4t + 4 = 0 \Rightarrow t = 1$
Với $t = 1$ ⇒ $x^2 = 1 \Rightarrow x = ±1$
Suy ra $m = 1$ không thỏa mãn đề bài.
Nếu $m ≠ 1$ thì phương trình (2) là phương trình bậc hai.
Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.
[ \Delta' = 8m + 16 < 0 ]
Với $m < -3$ hoặc $m > \frac{3}{2}$ thì phương trình (1) vô nghiệm.
Bài tập
Câu 1: Số giá trị của m để phương trình $mx^4 + 5x^2 - 1 = 0$ (1) có 2 nghiệm phân biệt là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. vô số
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $mt^2 + 5t - 1 = 0$ (2)
Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng:
Suy ra m = 0 thỏa mãn.
Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai.
Để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có nghiệm kép dương hoặc có 2 nghiệm trái dấu.
Với $m = 0$ và m > 0 thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt.
Đáp án là D
Câu 2: Tìm m để phương trình $x^4 - (3m + 4)x^2 + 12m = 0$ (1) có 4 nghiệm phân biệt là:
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 - (3m + 4)t + 12m = 0$ (2)
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.
Với $m > 0$ và m ≠ $\frac{4}{3}$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án là B
Câu 3: Số giá trị của m để phương trình $x^4 - (m + 2)x^2 + m = 0$ (1) có 3 nghiệm phân biệt là:
A. 1
B. 3
C. 5
D. vô số
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 - (m + 2)t + m = 0$ (2)
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) có 1 nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dương.
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2), ta thay t = 0 vào (2) ta được: m = 0
Với m = 0 thì phương trình (2) có dạng:
Suy ra m = 0 thỏa mãn.
Vậy với m = 0 thì phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt.
Đáp án là A
Câu 4: Tìm m để phương trình $x^4 + (1 - 2m)x^2 + m^2 - 1 = 0$ (1) vô nghiệm
A. không tồn tại m
B. m < -1 hoặc m > $\frac{5}{4}$
C. m > -1 hoặc m < -3
D. m > 2 hoặc m < -1
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $t^2 + (1 - 2m)t + m^2 -1 = 0$ (2)
Để phương trình (1) vô nghiệm, phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm âm.
Với m < -1 hoặc m > $\frac{5}{4}$ thì phương trình (1) vô nghiệm.
Đáp án là B
Câu 5: Số giá trị của m để phương trình $mx^4 - 2(m - 1)x^2 + m - 1 = 0$ (1) có 1 nghiệm là:
A. 0
B. 1
C. 2
D. vô số
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $mt^2 - 2(m - 1)t + m - 1 = 0$ (2)
Nếu m = 0 thì phương trình (2) có dạng: 2t - 1 = 0 $\Rightarrow$ t = $\frac{1}{2}$
Suy ra m = 0 không thỏa mãn đề bài.
Nếu m ≠ 0 thì phương trình (2) là phương trình bậc hai.
Để phương trình (1) có 1 nghiệm, phương trình (2) có nghiệm kép t = 0 hoặc có 1 nghiệm âm và 1 nghiệm bằng 0.
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2), ta thay t = 0 vào (2) ta được:
m - 1 = 0 $\Rightarrow$ m = 1
Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng: $t^2 = 0$ $\Rightarrow$ t = 0 ⇒ $x^2 = 0$ $\Rightarrow$ x = 0
Suy ra m = 1 thỏa mãn đề bài.
Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có 1 nghiệm.
Đáp án là B
Câu 6: Tìm m để phương trình $(m + 2)x^4 + 3x^2 - 1 = 0$ (1) có 4 nghiệm phân biệt
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $(m + 2)t^2 + 3t -1 = 0$ (2)
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt, phương trình (2) là phương trình bậc hai có 2 nghiệm dương phân biệt.
Với $m$ > $\frac{-2}{3}$ thì phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt.
Đáp án là C
Câu 7: Tìm m để phương trình $(m - 2)x^4 - 2(m + 1)x^2 + m - 1 = 0$ (1) có 3 nghiệm phân biệt
A. m = 1
B. m = -1
C. m = 0
D. không tồn tại m
Giải: Đặt $t = x^2$ (t ≥ 0), khi đó phương trình (1) trở thành $(m - 2)t^2 - 2(m + 1)t + m -1 = 0$ (2)
Để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt, phương trình (2) phải là phương trình bậc hai có 2 nghiệm ,trong đó một nghiệm bằng 0 và một nghiệm dương.
Vì t = 0 là nghiệm của phương trình (2), ta thay t = 0 vào (2) ta được:
m - 1 = 0 $\Rightarrow$ m = 1
Với m = 1 thì phương trình (2) có dạng:
Suy ra m = 1 không thỏa mãn đề bài.
Vậy không có giá trị nào của m để phương trình (1) có 3 nghiệm.
Đáp án là D
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có đáp án hay khác:
-
Cách giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu cực hay
-
Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = 0)
-
Cách giải phương trình bậc bốn bằng cách đặt t (dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c)
-
Cách giải phương trình bậc bốn dạng ax4 + bx3 + cx2 ± kbx + k2a = 0
Săn SALE shopee Tết:
-
Đồ dùng học tập giá rẻ
-
Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
-
Tsubaki 199k/3 chai
-
L'Oreal mua 1 tặng 3
-
Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán, Văn, Anh lớp 9 có đáp án
Đừng quên tìm hiểu thêm các dạng bài tập toán lớp 9 khác nhé!
