Chào các bậc phụ huynh và các em học sinh! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về 5 dạng toán nâng cao liên quan đến dãy số tự nhiên và các bài tập minh họa trong chương trình Toán lớp 4. Bạn hãy thử làm hết các dạng bài tập dưới đây để chuẩn bị tốt cho các kỳ thi nâng cao và chuyển cấp sắp tới nhé!
Công thức cần nhớ trong bài toán dãy số cách đều
- Tính số các số hạng trong dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
- Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy) x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ 1:
Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết: A = 1 + 2 + 3 + 4 + ……………………… + 2014.
=> Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, cần tính giá trị của A theo công thức tính tổng của dãy số cách đều.
Bài giải
Dãy số trên có số số hạng là: (2014 - 1) : 1 + 1 = 2014 (số hạng)
Giá trị của A là: (2014 + 1) x 2014 : 2 = 2029105
Đáp số: 2029105
Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ……………Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên ?
Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy cách đều suy ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong dãy - 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp + số hạng bé nhất trong dãy.
Bài giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là: (2014 - 1) x 2 + 2 = 4028
Đáp số: 4028
Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?
Phân tích: Từ công thức tính số các số hạng trong dãy cách đều suy ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - (Số số hạng trong dãy - 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là: 2013 - (50 - 1) x 2 = 1915
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là (2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200
Đáp số: 98200
Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?
Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ đó sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Sau đó chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiệu của hai số đó.
Bài giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là: (15 - 1) x 2 = 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là: 915 x 2 : 15 = 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là: (122 - 28) : 2 = 47
Đáp số: 47
Các dạng bài cụ thể
Dạng 1. Tìm số số hạng của dãy số
Bài 1: Viết các số lẻ liên tiếp từ 211. Số cuối cùng là 971. Hỏi viết được bao nhiêu số?
Giải:
Hai số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị Số cuối hơn số đầu số đơn vị là: 971 - 211 = 760 (đơn vị) 760 đơn vị có số khoảng cách là: 760: 2 = 380 (khoảng cách) Dãy số trên có số số hạng là: 380 +1 = 381 (số) Đáp số: 381 số hạng
Bài 2: Cho dãy số 11, 14, 17,. .., 68.
a, Hãy xác định dãy trên có bao nhiêu số hạng?
b, Nếu ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng thứ 1 996 là số mấy?
Giải:
a, Ta có: 14 - 11 = 3 17 - 14 = 3 Vậy quy luật của dãy là: mỗi số hạng đứng sau bằng số hạng đứng trước cộng với 3. Số các số hạng của dãy là: ( 68 - 11 ): 3 + 1 = 20 (số hạng)
b, Ta nhận xét: Số hạng thứ hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 - 1) x 3 Số hạng thứ ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 - 1) x 3 Số hạng thứ tư : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 - 1) x 3 Vậy số hạng thứ 1 996 là: 11 + (1 996 - 1) x 3 = 5 996
Đáp số: 20 số hạng; 5 996
Bài 3: Trong các số có ba chữ số, có bao nhiêu số chia hết cho 4?
Giải:
Ta có nhận xét: số nhỏ nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 100 và số lớn nhất có ba chữ số chia hết cho 4 là 996. Như vậy các số có ba chữ số chia hết cho 4 lập thành một dãy số có số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của dãy (Kể từ số hạng thứ hai) bằng số hạng đứng kề trước cộng với 4.
Vậy các số có 3 chữ số chia hết cho 4 là: (996 - 100): 4 + 1 = 225 (số)
Đáp số: 225 số
Dạng 2. Tìm tổng các số hạng của dãy số:
Bài 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.
Giải:
Dãy của 100 số lẻ đầu tiên là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199. Ta có: 1 + 199 = 200 3 + 197 = 200 5 + 195 = 200 …
Vậy tổng phải tìm là: 200 x 100: 2 = 10 000
Đáp số: 10 000
Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp:
2, 4, 6, 8,. . . , 2000
Tính tổng của dãy số trên
Giải:
Dãy số trên 2 số chẵn liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị. Dãy số trên có số số hạng là: (2000 - 2): 2 + 1 = 1000 (số) 1000 số có số cặp số là: 1000: 2 = 500 (cặp) Tổng 1 cặp là: 2 + 2000 = 2002 Tổng của dãy số là: 2002 x 500 = 100100
Dạng 3. Tìm số hạng thứ n
Bài 1: Cho dãy số: 1, 3, 5, 7,…
Hỏi số hạng thứ 20 của dãy là số nào?
Giải:
Dãy đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị. 20 số hạng thì có số khoảng cách là: 20 - 1 = 19 (khoảng cách) 19 số có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số cuối cùng là: 1 + 38 = 39 Đáp số: Số hạng thứ 20 của dãy là 39
Bài 2: Viết 20 số lẻ, số cuối cùng là 2001. Số đầu tiên là số nào?
Giải:
20 số lẻ liên tiếp hơn kém nhau 2 đơn vị 20 số lẻ có số khoảng cách là: 20 - 1 = 19 (khoảng cách) 19 khoảng cách có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số đầu tiên là: 2001 - 38 = 1963 Đáp số : số đầu tiên là 1963.
Dạng 4. Tìm số chữ số biết số số hạng
Ghi nhớ: Để tìm số chữ số ta:
- Tìm xem trong dãy số có bao nhiêu số số hạng
- Trong số các số đó có bao nhiêu số có 1, 2, 3, 4,. .. chữ số
Bài 1: Cho dãy số 1, 2, 3, 4,. .., 150.
Dãy này có bao nhiêu chữ số
Giải:
Dãy số 1, 2, 3,. .., 150 có 150 số. Trong 150 số có
- 9 số có 1 chữ số
- 90 số có 2 chữ số
- Các số có 3 chữ số là: 150 - 9 - 90 = 51 (chữ số) Dãy này có số chữ số là: 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số) Đáp số: 342 chữ số
Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp từ 2 đến 1998 thì phải viết bao nhiêu chữ số?
Giải:
Giải:
Dãy số: 2, 4,. .., 1998 có số số hạng là: (1998 - 2): 2 + 1 = 999 (số) Trong 999 số có:
- 4 số chẵn có 1 chữ số
- 45 số chẵn có 2 chữ số
- 450 số chẵn có 3 chữ số
- Các số chẵn có 4 chữ số là: 999 - 4 - 45 - 450 = 500 (số) Số lượng chữ số phải viết là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số) đáp số: 3444 chữ số
Dạng 5. Tìm số số hạng biết số chữ số
Bài 1: Một quyển sách có 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?
Giải:
Để đánh số trang sách người ta bắt đầu đánh từ trang số 1. Ta thấy để đánh số trang có 1 chữ số người ta đánh mất 9 số và mất: 1 x 9 = 9 (chữ số) Số trang sách có 2 chữ số là 90 nên để đánh 90 trang này mất: 2 x 90 = 180 (chữ số) Đánh quyển sách có 435 chữ số như vậy chỉ đến số trang có 3 chữ số. Số chữ số để đánh số trang sách có 3 chữ số là: 435 - 9 - 180 = 246 (chữ số) 246 chữ số thì đánh được số trang có 3 chữ số là: 246: 3 = 82 (trang) Quyển sách đó có số trang là: 9 + 90 + 82 = 181 (trang) đáp số: 181 trang
Bài 2: Viết các số lẻ liên tiếp bắt đầu từ số 87. Hỏi nếu phải viết tất cả 3156 chữ số thì viết đến số nào?
Giải:
Từ 87 đến 99 có các số lẻ là: (99 - 87): 2 + 1 = 7 (số) Để viết 7 số lẻ cần: 2 x 7 = 14 (chữ số) Có 450 số lẻ có 3 chữ số nên cần: 3 x 450 = 1350 (chữ số) Số chữ số dùng để viết các số lẻ có 4 chữ số là: 3156 - 14 - 1350 = 1792 (chữ số) Viết được các số có 4 chữ số là: 1792: 4 = 448 (số) Viết đến số: 999 + (448 - 1) x 2 = 1893
Bài tập tự luyện:
Bài 1: Tính tổng: a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999. b, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150 c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150.
Bài 2: Có bao nhiêu số: a, Có 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2? b, Có 4 chữ số chia hết cho 3? c, Có 3 chữ số nhỏ hơn 500 mà chia hết cho 4?
Bài 3: Khi đánh số thứ tự các dãy nhà trên một đường phố, người ta dùng các số lẻ liên tiếp 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy thứ nhất và các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. để đánh số dãy thứ hai. Hỏi nhà cuối cùng trong dãy chẵn của đường phố đó là số mấy, nếu khi đánh số dãy này người ta đã dùng 769 chữ cả thảy?
Bài 4: Cho dãy các số chẵn liên tiếp 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng thứ mấy của dãy này? Giải thích cách tìm.
Bài 5: Tìm tổng của: a, Các số có hai chữ số chia hết cho 3; b, Các số có hai chữ số chia cho 4 dư 1; c, 100 số chẵn đầu tiên; d, 10 số lẻ khác nhau lớn hơn 20 và nhỏ hơn 40.
Bài 6: Viết 25 số lẻ liên tiếp số cuối cùng là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào?
Bài 7: Cho dãy số gồm 25 số hạng: .. . , 146, 150, 154. Hỏi số đầu tiên là số nào?
Bài 8: Dãy số lẻ từ 9 đến 1999 có bao nhiêu chữ số?
Bài 9: Viết các số chẵn liên tiếp bắt đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào?
Bài 10: Có bao nhiêu số: a, Có bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số? b, Có bao nhiêu số có 3 chữ số đều lẻ? c, Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số giống nhau?
Bài 11: Cho dãy số tự nhiên liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,…, x. Tìm x biết dãy số có 1989 chữ số
Bài 12: Cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;…; 108,9; 110,0 a, Dãy số này có bao nhiêu số hạng? b, Số hạng thứ 50 của dãy là số hạng nào?
Mong rằng với các dạng bài toán trên, các em học sinh sẽ có cơ hội rèn luyện và nắm vững kiến thức về các dãy số tự nhiên trong chương trình Toán lớp 4. Hãy cùng thực hành thường xuyên và làm quen với các dạng bài khác nhau để nắm vững và phản xạ khi làm các dạng bài tương tự trong các kỳ thi đánh giá năng lực. Chúc các em thành công!
