Bài viết: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm sẽ giúp bạn hiểu rõ và biết cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm. Chúng ta sẽ thực hiện các bước giải chi tiết để tìm phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm dễ dàng.
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm tọa độ các vector AB→ , AC→
Đầu tiên, ta cần tìm tọa độ hai vector AB→ và AC→. Điều này được thực hiện bằng cách lấy hiệu của hai tọa độ tương ứng của hai điểm B và A, và hai điểm C và A.
Bước 2: Tìm vector pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Vector pháp tuyến của mặt phẳng (P) chính là vector n→=[AB→ , AC→]
Bước 3: Điểm thuộc mặt phẳng
Chọn một trong ba điểm A, B hoặc C để đại diện cho mặt phẳng (P).
Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vector pháp tuyến
Phương trình mặt phẳng (P) đi qua 1 điểm và có vector pháp tuyến n→ =[AB→ , AC→] có dạng:
(x/a) +(y/b) +(z/c) = 1
Trong đó, a, b, c khác 0 và A ∈ Ox, B ∈ Oy, C ∈ Oz. Khi đó, (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2).
Lời giải: Đầu tiên, chúng ta cần tìm tọa độ hai vector AB→ và AC→.
Hình ảnh minh họa về cách tìm phương trình mặt phẳng
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxzy, gọi (α) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A (2; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α).
Lời giải: Chúng ta có thể thực hiện hai cách để tìm phương trình mặt phẳng (α).
Cách 1: Ta cần tính tọa độ của hai vector AB→ và AC→.
- AB→ = (-2; -3; 0)
- AC→ = (-2; 0; 4)
Từ đó, ta có vector n→ = [AB→ , AC→] = (-12; 8; -6)
Chọn n→ = (6; -4; 3) để đại diện cho vector pháp tuyến của mặt phẳng (α).
Phương trình mặt phẳng (α) là 6(x - 2) - 4y + 3z = 0
Cách 2:
Vì mặt phẳng (α) cắt các trục tọa độ, phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:
(x/2) + (y/-3) + (z/4) = 1
Vậy phương trình mặt phẳng (α) là 6x - 4y + 3z - 12 = 0
Bài tập tự luyện
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; -2; 0), N(1; 1; 1) và P(0; 1; -2).
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxzy, gọi (α) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A(1; 0; 1), B(1; -3; 0), C(0; 1; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α).
Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3; 4; 5) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
Bài 4: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 4), B(2; 7; 9), C(0; 9; 13).
Bài 5: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M(1; 3; 2), N(5; 2; 4), P(2; -6; -1) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tính tổng S = A + B + C + D.
Chúng ta đã tìm hiểu cách viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm và thực hiện các bài tập tự luyện. Hãy thực hành thường xuyên để làm quen với các bước giải và nắm vững kiến thức này.
