Giải pháp đơn giản cho bài toán phương trình mặt phẳng
Để giải bài toán viết phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm, chúng ta cần làm theo các bước sau:
Bước 1: Tìm các vecto pháp tuyến
Đầu tiên, chúng ta cần tìm tọa độ của các vecto AB→ và AC→. Đây là hai vecto nằm trên mặt phẳng và có điểm đầu là điểm A và điểm cuối là điểm B và C tương ứng.
Bước 2: Xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng
Sau khi tìm được hai vecto AB→ và AC→, ta xác định vecto pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích vô hướng của hai vecto này.
Bước 3: Tìm điểm thuộc mặt phẳng
Để xác định điểm thuộc mặt phẳng, chúng ta có thể lấy bất kỳ điểm nào trong 3 điểm đã cho, ví dụ điểm A.
Bước 4: Viết phương trình mặt phẳng
Cuối cùng, sử dụng các thông tin đã xác định ở các bước trước đó, chúng ta có thể viết phương trình mặt phẳng đi qua 1 điểm và có vecto pháp tuyến.
Chú ý: Phương trình mặt phẳng đi qua 3 điểm A(a;0;0); B(0;b;0); C(0;0;c) có dạng là: (x/a) +(y/b) +(z/c) =1, với a .b .c ≠ 0. Trong đó A ∈ Ox; B ∈ Oy; C∈ Oz. Khi đó (P) được gọi là phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1; -2; 0), B(1; 1; 1) và C(0; 1; -2)
Lời giải:
Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxzy, gọi (α) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A (2; 0; 0), B(0; -3; 0), C(0; 0; 4). Phương trình mặt phẳng (α) là?
Lời giải:
Cách 1: Ta có: AB→=(-2; -3;0); AC→=(-2; 0; 4)
⇒ [AB→ , AC→ ]=(-12; 8; -6).
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) ta có:
nên n→ cùng phương với [AB→ , AC→ ]
Chọn n→=(6; -4; 3) ta được phương trình mặt phẳng (α) là
6(x -2) -4y +3z =0
Cách 2:
Do mặt phẳng cắt các trục tọa độ nên ta có phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn là:
(x/2) +(y/(-3)) +(z/4) =1
⇔ 6x -4y +3z -12 =0
Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm M(5; 4; 3) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
Lời giải:
Do mặt phẳng (P) cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC nên A (a; 0; 0); B(0; a; 0); C(0; 0; a)
Phương trình mặt phẳng (P) theo đoạn chắn là:
(x/a) +(y/a) +(z/a) =1
Do mặt phẳng (P) đi qua điểm M (5; 4; 3) nên ta có:
(5/a) +(4/a) +(3/a) =1 ⇔ (12/a) =1 ⇔ a=12
Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) là:
(x/12) +(y/12) +(z/12) =1
⇔ x +y +z -12 =0
Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:
Lời giải:
AB→=(-4;5;-1); CD→=(-1;0;2)
⇒ [AB→ , CD→ ]=(10;9;5)
Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)
Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: ⇒ n→ cùng phương với [AB→ , CD→ ]
Chọn n→=(10;9;5)
Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(10;9;5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:
10(x -5) +9(y -1) +5(z -3) =0
⇔ 10x +9y +5z -74 =0
Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm M(1; -2; 0), N(1; 1; 1) và P(0; 1; -2).
Bài 2. Trong không gian hệ tọa độ Oxzy, gọi (α) là mặt phẳng cắt ba trục tọa độ tại A (1; 0; 1), B(1; -3; 0), C(0; 1; 4). Viết phương trình mặt phẳng (α).
Bài 3. Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) đi qua điểm A(3; 4; 5) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC. Viết phương trình mặt phẳng (P).
Bài 4. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm A(1; 1; 4), B(2; 7; 9), C(0; 9; 13).
Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm M (1; 3; 2), N (5; 2; 4), P(2; -6; -1) có dạng Ax + By + Cz + D = 0 . Tính tổng S = A + B + C + D.
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
