Phần bù đại số là một khái niệm quan trọng trong đại số tuyến tính và được sử dụng trong tính toán định thức của ma trận. Trong bài viết này, chúng ta sẽ tìm hiểu về phần bù đại số và cách tính chúng.
Giới thiệu
Phần bù đại số của một phần tử trong ma trận được ký hiệu là $A{ij}$ và được tính bằng cách lấy định thức của ma trận đã bỏ đi dòng $i$ và cột $j$. Phần bù đại số cho phần tử $a{ij}$ của ma trận $A$ được tính theo công thức sau:
$A{ij} = (-1)^{i+j}M{ij}$
Trong đó, $M_{ij}$ là định thức của ma trận thu được từ ma trận $A$ bằng cách loại bỏ dòng $i$ và cột $j$.
Ví dụ
Xét ma trận $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & m \ 3 & 1 & 4 & 2 \ -3 & 4 & 2 & 1 \ -1 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}$. Ta cần tính các phần bù đại số $A{11}$, $A{12}$, $A{13}$ và $A{14}$ của ma trận $A$.
Giải:
Ta có:
$A_{11} = (-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 1 & 4 & 2 \ 4 & 2 & 1 \ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -35$
$A_{12} = (-1)^{1+2}\begin{vmatrix} 3 & 4 & 2 \ -3 & 2 & 1 \ -1 & 1 & 3 \end{vmatrix} = -45$
$A_{13} = (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 3 & 1 & 2 \ -3 & 4 & 1 \ -1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = 34$
$A_{14} = (-1)^{1+4}\begin{vmatrix} 3 & 1 & 4 \ -3 & 4 & 2 \ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix} = 7$
Vậy các phần bù đại số của ma trận $A$ là $A{11} = -35$, $A{12} = -45$, $A{13} = 34$ và $A{14} = 7$.
Kết luận
Phần bù đại số là một khái niệm quan trọng trong tính toán định thức của ma trận. Chúng được sử dụng để tính định thức của ma trận và có vai trò quan trọng trong nhiều bài toán liên quan đến đại số tuyến tính.
